\[\]Ejercicio 1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicos mediante el método de reducción
a) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+\log y=&3\\ \log x-\log y=&1\\\end{cases}\)
b) \(\displaystyle\begin{cases}2\log x-3\log y=&7\\ \log x+\log y=&1\\\end{cases}\)
c) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+\log y=&3\\ 2\log x-2\log y=&-1\\\end{cases}\)
d) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+3\log y=&5\\ \log x-\log y=&3\\\end{cases}\)
El método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones consiste en manipular las ecuaciones y sumarlas o restarlas con el objetivo de hacer desaparecer una de las variables (en este caso las variables serán \(\log x, \log y\)), repasar cómo resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción, consultar las propiedades de los logaritmos, además de cómo resolver una ecuación de segundo grado
a) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+\log y=&3\\ \log x-\log y=&1\\\end{cases}\)
Sumando las dos ecuaciones se obtiene la siguiente expresión \(2\log x=4\Rightarrow \log x=2\Rightarrow \log x=\log 100\Rightarrow x=100\)
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación del sistema, se tiene
\(\log 100+\log y=3\Rightarrow 2+\log y=3\Rightarrow \log y=3-2\Rightarrow \log y=\log 10\Rightarrow y=10\)
De manera que el resultado final sería \(\bbox[yellow]{x=100, y=10}\)
b) \(\displaystyle\begin{cases}2\log x-3\log y=&7\\ \log x+\log y=&1\\\end{cases}\)
Multiplicando la segunda ecuación por \(3\) se tiene \(3\log x+3\log y=3\)
Sumando dicha expresión a la primera ecuación del sistema se tiene \(5\log x=10\Rightarrow\log x=\frac{10}{5}=2\Rightarrow\log x=\log 100\Rightarrow x=100\)
Por otra parte, sustituyendo el valor obtenido en la segunda ecuación:
\(\log 100+\log y=1\Rightarrow 2+\log y=1\Rightarrow\log y=-1\Rightarrow\log y=\log 0,1\Rightarrow y=0,1\)
El resultado final quedaría \(\bbox[yellow]{x=100, y=0,1}\)
c) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+\log y=&3\\ 2\log x-2\log y=&-1\\\end{cases}\)
Multiplicando la primera ecuación por dos y sumándola a la segunda ecuación, se tiene \(4\log x=5\Rightarrow \log x^4=5\Rightarrow\log x^4=\log 10^5\Rightarrow x=10^{\frac 54}\)
Sustituyendo en la primera ecuación el valor obtenido de la variable, se obtiene
\(\log (10^{\frac 54})+\log y=3\Rightarrow\frac 54\log 10+\log y=3\Rightarrow \frac 54\cdot 1+\log y=3\Rightarrow \log y=\frac 74\Rightarrow y=10^{\frac 74}\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=10^{\frac 54}, y=10^{\frac 74}}\)
d) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+3\log y=&5\\ \log x-\log y=&3\\\end{cases}\)
Multiplicando la segunda ecuación por tres y sumándola a la primera se obtiene la siguiente expresión \(4\log x=14\Rightarrow\log x=\frac 72\Rightarrow x=10^{\frac 72}\)
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, \(\log (10^{\frac 72})-\log y=3\Rightarrow\frac 72\log 10 -\log y=3\Rightarrow\log 10-\log y=3-\frac 72\Rightarrow 1-\log y=3-\frac 72\Rightarrow -\log y=-\frac 12\Rightarrow y=10^{\frac 12}\)
Así que, \(\bbox[yellow]{x=10^{\frac 72}, y=10^{\frac 12}}\)
Ejercicio 2: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas
a) \(\displaystyle\begin{cases} x-y=&8\\ \log_2 x+\log_2 y=&7\\\end{cases}\)
b) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+\log y=&\log 200\\ 2\log x+\log y=&3\\\end{cases}\)
c) \(\displaystyle\begin{cases}x+y=&65\\ \log x-\log y=&3\\\end{cases}\)
d) \(\displaystyle\begin{cases}x-20y=&4\\ \log x-\log y=&2\\\end{cases}\)
Recordar cómo resolver un sistema de ecuaciones y consultar también las propiedades de los logaritmos
a) \(\displaystyle\begin{cases} x-y=&8\\ \log_2 x+\log_2 y=&7\\\end{cases}\)
Primeramente, se transforma la segunda ecuación del sistema en una ecuación algebraica, \(\log_2(x\cdot y)=7\Rightarrow 2^7=x\cdot y\)
Por lo tanto, el sistema ahora sería
\(\displaystyle\begin{cases} x-y=&8\\ x\cdot y=128\\\end{cases}\)
Se despeja una variable de la primera ecuación \(x=8+y\) y se incluye en la segunda ecuación
\((8+y)y=128\Rightarrow y^2+8y-128=0\Rightarrow y=\frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot 1(-128)}}{2}=\frac{-8\pm\sqrt{576}}{2}\Rightarrow y= 8\)
Por lo tanto, \(x=8+8=16\) y \(\bbox[yellow]{x=16, y=8}\)
b) \(\displaystyle\begin{cases}\log x+\log y=&\log 200\\ 2\log x+\log y=&3\\\end{cases}\)
Reescribiendo la primera ecuación se tiene \(\log (x\cdot y)=\log 200\Rightarrow x=\frac{200}{y}\)
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación,
\(2\log \frac{200}{y}+\log y=3\Rightarrow (\frac{200}{y})^2\cdot y=1000\Rightarrow y=\frac{40000}{1000}=40\)
De esta manera, \(\bbox[yellow]{x=5, y=40}\)
c) \(\displaystyle\begin{cases}x+y=&65\\ \log x-\log y=&3\\\end{cases}\)
Despejando una variable de la primera ecuación, \(x=65-y\) e incluyendo el despeje en la segunda,
\(\log (65-y)y=1000\Rightarrow -y^2+65y-1000=0\Rightarrow y=\frac{-65\pm\sqrt{65^2-4(-1)(-1000)}}{2(-1)}=\frac{-65\pm\sqrt{225}}{-2}\Rightarrow y=40, y=25\)
Por lo tanto, \(x=65-40= 25\) y \(x=65-25=40\)
De forma que el resultado final será \(\bbox[yellow]{x=25, y=40, x=40, y=25}\)
d) \(\displaystyle\begin{cases}x-20y=&4\\ \log x-\log y=&2\\\end{cases}\)
Reescribiendo la segunda ecuación se tiene \(\log x-\log y=\log 100\Rightarrow\log\frac xy=\log 100\Rightarrow x=100y\)
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación, \(100y-20y=4\Rightarrow 80y=4\Rightarrow y=\frac{4}{80}\Rightarrow y=\frac{1}{20}\) y \(x=100\cdot\frac{1}{20}=5\)
El resultado del ejercicio sería \(\bbox[yellow]{x=5, y=\frac{1}{20}}\)