Ejercicios de Integrales varias IX

Ejercicio 11: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x+\cos ^2x}dx\) Haciendo el cambio de variable \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx\), la integral quedaría como \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x+\cos ^2x}dx=\displaystyle\int\frac{-du}{u+u^2}dx\) El denominador puede escribirse como \(u(1+u)\) De manera que la integral puede expresarse como suma de dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así \(\displaystyle\int\frac{-du}{u+u^2}dx=\displaystyle\int\frac{A}{u}+\frac{B}{u+1}du\) […]

Ejercicios de Integrales varias VIII

Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{3\cos x}{\sin ^2x+\sin x-2}dx\) Haciendo el cambio de variable \(u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx\), la integral entonces quedaría \(\displaystyle\int\frac{3\cos x}{\sin ^2x+\sin x-2}dx=\displaystyle\int\frac{3du}{u^2+u-2}\) Igualando a cero el polinomio del denominador se hallan sus raíces: \(u=-2\) y \(u=1\), de manera que la integral puede expresarse como suma de dos […]

Ejercicios de Integrales varias III

Ejercicio 11: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{2x-3}{(x-1)^2}dx\) Igualando el polinomio del denominador a cero y resolviéndolo, ver cómo resolver polinomios, se obtiene \((x-1)^2=0\Rightarrow x=1\) (raíz doble) De manera que al ser \(x=1\) la única solución del polinomio (doble), el denominador puede dividirse en dos fracciones, ver cómo resolver integrales racionales, así \(\displaystyle\int\frac{2x-3}{(x-1)^2}dx=\displaystyle\int\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}dx\) […]

Ejercicios de Integrales varias II

Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{x^{\frac 52}+5x^{\frac 12}}{x^{\frac 52}}dx\) Reescribiendo primeramente la integral, se tiene \(\displaystyle\int \frac{x^{\frac 52}+5x^{\frac 12}}{x^{\frac 52}}dx=\displaystyle\int 1+\frac{5}{x^2}dx\) Sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, se tiene \(\displaystyle\int 1+\frac{5}{x^2}dx=\displaystyle\int 1dx+\int\frac{5}{x^2}dx\) Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias […]

Ejercicios de Integrales varias VI

Ejercicio 11: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x\sqrt[3]{x+1}dx\) Reescribiendo la integral, queda \(\displaystyle\int x\sqrt[3]{x+1}dx=\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}dx\) Sumando y restando el término \((x+1)^{\frac 13}\), queda \(\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}dx=\displaystyle\int x(x+1)^{\frac 13}+(x+1)^{\frac 13}-(x+1)^{\frac 13}dx\) Sacando factor común y sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver cómo operar con integrales, […]

Ejercicios de Integrales varias V

Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-x^2+2x}}dx\) Reescribiendo la integral, \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-x^2+2x}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2+2x-1}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx\) Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado \(\boxed{\displaystyle\arcsin (x-1)+C}\) Ejercicio 7: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{x+2x^2}{\sqrt{x}}dx\) Reescribiendo primeramente la integral, se tiene \(\displaystyle\int \frac{x+2x^2}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int (x+2x^2)(x)^{-\frac 12}dx=\displaystyle\int x^{\frac 12}+2(x)^{\frac 32}dx\) Sabiendo que la suma de integrales […]