\[\]Ejercicio 1: Sabiendo que \(\cot\alpha=\frac 12\), calcular el resto de las razones triginométricas teniendo en cuenta que \(\alpha\) pertenece al tercer cuadrante
Teniendo en cuenta que \(\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}\), ver expresiones trigonométricas, se tiene
\(\cot\alpha=\frac 12\Rightarrow\cot\alpha=\frac 12\Rightarrow\bbox[yellow]{\tan\alpha=2}\)
Sabiendo además que
\(\tan ^2\alpha +1=\sec ^2\alpha\), quedaría
\(2^2+1=\sec^2\alpha\Rightarrow\sec\alpha=\pm\sqrt{5}=\pm 2,24\)
Como en el tercer cuadrante la secante es negativa, se concluye que \(\bbox[yellow]{\sec\alpha=-2,24}\)
Como \(\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\), se puede despejar \(\cos\alpha\) obteniendo \(\cos\alpha=\frac{1}{\sec\alpha}=-0,45\), es decir, \(\bbox[yellow]{\cos\alpha=-0,45}\)
Utilizando ahora la fórmula \(1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha\), ver expresiones trigonométricas, se tiene
\(1+\frac 14=\csc^2\alpha\Rightarrow\csc\alpha=\pm\sqrt{\frac 54}=\pm 1,12\)
Como en el tercer cuadrante la cosecante es negativa, se tiene \(\bbox[yellow]{\csc\alpha=-1,12}\)
Por último, como \(\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\Rightarrow\sin\alpha=\frac{1}{-1,12}=-0,89\), es decir, \(\bbox[yellow]{\sin\alpha=-0,89}\)
Ejercicio 2: Dado el triángulo no rectángulo del que se conocen dos de sus ángulos \(A=75\) y \(C=25\), y uno de sus lados \(b=20\). Calcular su superficie
En un triángulo siempre se cumple que \(A+B+C=180\), siendo \(A\), \(B\) y \(C\) sus ángulos, ver geometría de un triángulo, por lo tanto \(B= 180-(A+B)=180-(75+25)=80\)
Por el Teorema del seno se tiene que \(\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow a=\frac{20.\sin 75}{\sin 80}=19,61\)
Utilizando el mismo Teorema se obtiene también que \(\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow c=\frac{20.\sin 25}{\sin 80}=8,58\)
Para calcular la superficie del triángulo se calculará primero el perímetro de dicha figura, ver geometría de un triángulo,
\(p=a+b+c=19,61+20+8,58=48,19\)
La superficie será \(S=\sqrt{\frac p2(\frac p2 -a)(\frac p2-b)(\frac p2 -c)}=\bbox[yellow]{82,89}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la ecuación trigonométrica \(\cos 2x-\cos^2x=0\)
Utilizando la ecuación trigonométrica \(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x\), ver expresiones trigonométricas, se obtiene
\(\cos 2x-\cos^2x=0\Rightarrow\cos^2x-\sin^2x-\cos^2x=0\Rightarrow\sin^2x=0\Rightarrow\sin x=0\)
De forma que el resultado final será \(\bbox[yellow]{x=2K\pi, \quad x=\pi+2k\pi}\)
\[\]Ejercicio 4: Un submarinista desciende hacia el fondo del mar con una inclinación de \(45\) grados en busca de una sirena. Cuando llega al fondo, encuentra a la sirena, después de darle un beso asciende con un ángulo de \(30\) grados con respecto a la superficie del mar. Cuando emerge completamente se comprueba que el espacio desplazado ha sido de \(100\) metros desde el punto donde se sumergió en un principio. Calcular la profundidad a la que se ha tenido que sumergir para besar a la sirena
Con los datos del enunciado es posible formar un triángulo cuyos lados serán:
– La superficie del mar desde el punto \(x\) al punto \(100-x\) (ya que el enunciado dice que ésta ha sido la distancia recorrida por el submarinista)
– La trayectoria con la que baja al fondo del mar, \(t_1\), (el ángulo formado entre \(t_1\) y la superficie será de \(45\) grados)
– La trayectoria con la que sube el submarinista, \(t_2\), y el ángulo formado por este lado y la superficie del mar será de \(30\) grados. El tercer vértice será el punto en el que está la sirena en el fondo del mar
Para calcular la profundidad, \(t_1\), a la que el submarinista se ha tenido que sumergir para llegar a la sirena, se trazará una vertical, \(h\), desde el tercer vértice (sirena) hasta la superficie del mar
De esta forma, el triángulo inicial se divide en dos triángulos. El primero estará formado por el lado \(x\), \(t_2\) y \(h\). De forma que sabiendo que el ángulo entre \(x\) y \(t_2\) es de \(30\) grados, se tiene que, ver expresiones trigonométricas,
\(\sin 30=\frac{h}{t_2}\) y \(\cos 30=\frac{x}{t_2}\)
Como \(t_2\) es desconocido en el ejercicio, se puede calcular la tangente del ángulo y así prescindir de este dato, ver ecuaciones trigonométricas:
\(\tan 30=\frac{\sin 30}{\cos 30}=\frac{\frac{h}{t_2}}{\frac{x}{t_2}}=\frac{h}{x}\)
Por otra parte, el segundo triángulo que resulta de trazar la vertical \(h\) está formado por los lados \(100-x\), \(t_1\) y \(h\)
De esta manera, argumentando como en el triángulo anterior se tiene que
\(\tan 45=\frac{h}{100-x}\)
Resolviendo el sistema se obtiene el resultado final:
\(\displaystyle \begin{cases} \tan 30=\frac{h}{x}&\\\ \tan 45=\frac{h}{100-x}&\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{h=28,86,\quad x=50}\)
\[\]Ejercicio 5: Teniendo en cuenta que \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{8}}{3}\) y que \(\alpha\) pertenece al primer cuadrante, calcular \(\sin(\alpha+30),\quad \sin(\alpha +45),\quad\cos(\alpha -60),\quad\tan (60-\alpha)\)
Se calcula primeramente \(\sin\alpha\) y \(\tan\alpha\), sabiendo que \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) y que \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), ver expresiones trigonométricas,
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\frac 89}=\frac 13\) y \(\tan\alpha=\frac{\frac 13}{\frac{\sqrt{8}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{8}}\)
Entonces; consultando las ecuaciones trigonométricas, se obtiene
\(\sin (\alpha +30)=\sin\alpha .\cos 30+\cos\alpha .\sin 30=\frac 13.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{8}}{3}\frac 12=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{8}}{6}=\bbox[yellow]{0,7601}\)
\(\sin (\alpha +45)=\sin\alpha .\cos 45+\cos\alpha .\sin 45=\frac 13.\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{8}}{3}\frac{1}{\sqrt{2}}=\bbox[yellow]{0,9024}\)
\(\cos (\alpha -60)=\cos\alpha .\cos 60+\sin\alpha .\sin 60=\frac{\sqrt{8}}{3}.\frac 12+\frac 13\frac{\sqrt{3}}{2}=\bbox[yellow]{0,7601}\)
\(\tan(60-\alpha)=\frac{\tan 60-\tan\alpha}{1+\tan 60.\tan\alpha}=\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{8}}}{1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}}=\bbox[yellow]{0,8549}\)
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