\[\] Ejercicio 6: De un triángulo sólo se conocen sus lados, \(a=2\), \(b=4\) y \(c=3\). Calcular sus lados y su superficie
Utilizando la siguiente fórmula (con \(A\) el ángulo formado por el vértice opuesto al lado \(a\) del triángulo), ver geometría de una triángulo, se tiene
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow 4=16+9-2.12.\cos A\Rightarrow\cos A=\frac{21}{24}\Rightarrow\bbox[yellow]{A=28,95}\)
Aplicando la fórmula análoga para el ángulo \(B\) y para \(C\), se tiene
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow 16=4+9-2.6.\cos B\Rightarrow\cos B=-\frac{1}{4}\Rightarrow\bbox[yellow]{B=104,47}\)
y
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow 9=4+16-2.8.\cos C\Rightarrow\cos C=\frac{11}{16}\Rightarrow\bbox[yellow]{C=46,56}\)
Para calcular la superficie, \(S\), del triángulo, se aplica la fórmula que relaciona ésta con el perímetro, \(p\), del triángulo, ver geometría de un triángulo
\(p=a+b+c=2+4+3=9\)
y
\(S=\sqrt{\frac 92(\frac 92-a)(\frac 92 -b)(\frac 92 -c)}=\sqrt{\frac 92.\frac 52.\frac 12.\frac 32}=\bbox[yellow]{\sqrt{\frac{105}{8}}}\)
\[\] Ejercicio 7: Resolver la ecuación trigonométrica \(\tan x+\sin 2x=1\)
Sabiendo que \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) y que \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), ver ecuaciones trigonométricas, se obtiene
\(\frac{\sin x}{\cos x}+2\sin x\cos x=0\)
Multiplicando la expresión por \(\cos x\) a los dos lados, se tiene
\(\sin x+2\sin x\cos^2x=0\)
Sacando factor común \(\sin x\), quedaría
\(\sin x(1+2\cos^2 x)=0\Rightarrow\displaystyle \begin{cases} \sin x=0&\\\ 1+2\cos^2x=0&\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=2k\pi, x=\pi+2k\pi&\\\ \cos^2 x=-\frac 12&\\\end{cases}\)
del último despeje se obtiene la ráiz de un número negativo, lo cual es imposible en los números reales, por lo que la solución final será:
\(\bbox[yellow]{x=2k\pi, x=\pi+2k\pi}\)
\[\] Ejercicio 8: Dado un triángulo con dos de sus lados: \(a=2\), \(b=3\) y uno de sus ángulos \(C=30\), calcular su superficie. Demostrar también el Teorema del seno
Utilizando la fórmula \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\), ver geometría de un triángulo, se tiene
\(c^2=4+9-12.\frac{\sqrt{3}}{2}=13-6\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{2,60}\)
Para calcular la superficie del triángulo es necesario saber los lados del triángulo (\(a\), \(b\) y \(c\)) y el perímetro, \(p\) del mismo, ver superficie de un triángulo
En este caso \(p=a+b+c=2+3+\sqrt{2,60}=6,61\)
y
\(S=\sqrt{\frac{p}{2}(\frac p2-2)(\frac p2-3)(\frac p2-\sqrt{2,60})}=\bbox[yellow]{2,25}\)
El Teorema del seno dice que si \(c\) es un lado del triángulo y \(C\) el ángulo opuesto a dicho lado y lo mismo para el lado \(b\) y el ángulo \(B\) y el lado \(a\) y el ángulo \(A\), entonces, ver geometría del triángulo,
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}\)
Para comprobarlo en este caso es necesario primero calcular \(B\); teniendo en cuenta el resultado obtenido para el lado \(c\) y utilizando la fórmula vista anteriormente para el lado \(b\) se tiene,
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow 9=2,60+4-2(\sqrt{2,60})2\cos B\Rightarrow \cos B=0,37\Rightarrow B=68,15\)
Por lo tanto, \(\sin B=0,92\)
Como en un triángulo se cumple que \(A+B+C=180\), ver geometría de un triángulo, se tiene que \(A=180-30-68,15=81,85\)
Ahora ya se tienen todos los datos para comprobar el Teorema pedido:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow\bbox[yellow]{\frac{2}{0,98}=\frac{\sqrt{2,60}}{0,5}=\frac{3}{0,92}}\)
\[\] Ejercicio 9: Dos personas están separadas por \(1\)Km, observan un globo en el cielo con ángulos de \(25\) y \(50\) grados respectivamente. Calcular la altura a la que vuela el globo
Considerando cada persona como un vértice de un triángulo y el globo en el cielo como el tercer vértice, se puede resolver el problema
Los lados de dicho triángulo será:
– La distancia entre la persona \(1\) y la persona \(2\), \(x\), este lado será, además, la base del triángulo
– Los otros dos lados serán las rectas \(a\) y \(b\) que simulan la distancia entre cada persona y el globo, que formarán un ángulo con el primer lado de \(25\) y \(50\) grados respectivamente
Trazando una línea vertical, \(h\), desde el globo hasta el suelo, se obtienen dos triángulos
El primero tendrá como base \(x\) y como altura \(h\) (que es la altura pedida) y el lado restante será \(a\)
De esta forma, centrando la atención en el vértice donde está la primera persona (que tiene ángulo \(25\), se tiene que \(\sin 25=\frac{h}{a}\) y \(\cos 25=\frac{x}{a}\)
Como el valor de \(a\) es desconocido y el buscado es el de \(h\), se considerará la tangente del ángulo, ver expresiones trigonométricas,
\(\tan 25=\frac{\sin 25}{\cos 25}=\frac{\frac ha}{\frac xa}=\frac hx\)
Por otra parte, el segundo triángulo formado al trazar la vertical \(h\) desde el globo hasta el suelo cumple que \(\sin 50=\frac{h}{b}\) y \(\cos 50=\frac{1000-x}{b}\)
Calculando la tangente del ángulo en este caso, se tiene
\(\tan 50=\frac{\sin 50}{\cos 50}=\frac{\frac hb}{\frac{1000-x}{b}}=\frac{h}{1000-x}\)
Considerando el siguiente sistema y resolviéndolo se obtiene el resultado final
\(\begin{cases} \tan 25=\frac hx&\\\ \tan 50=\frac{h}{1000-x}&\\\end{cases}\Rightarrow x=2144,50,\quad\bbox[yellow]{h=1000 m}\)
\[\] Ejercicio 10: Sabiendo que \(\sec\alpha=-\sqrt{17}\) y que \(\alpha\) pertenece al segundo cuadrante, calcular el resto de las razones trigonométricas
Consultando las expresiones trigonométricas, se tiene
\(\tan^2\alpha +1=\sec^2\alpha\Rightarrow\bbox[yellow]{\tan\alpha =-4}\) y \(\bbox[yellow]{\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{17}}}\)
Por otra parte, \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\Rightarrow\bbox[yellow]{\sin\alpha=\frac{4}{\sqrt{17}}}\Rightarrow\bbox[yellow]{\csc\alpha=\frac{\sqrt{17}}{4}}\)
Por último se tiene que \(\tan\alpha=-4\Rightarrow\bbox[yellow]{\cot\alpha=-\frac 14}\)