Ejercicios de Trigonometría IV

Ejercicio 6: De un triángulo sólo se conocen sus lados, \(a=2\), \(b=4\) y \(c=3\). Calcular sus lados y su superficie

Utilizando la siguiente fórmula (con \(A\) el ángulo formado por el vértice opuesto al lado \(a\) del triángulo), ver geometría de una triángulo, se tiene

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow 4=16+9-2.12.\cos A\Rightarrow\cos A=\dfrac{21}{24}\Rightarrow\boxed{A=28,95}\)

Aplicando la fórmula análoga para el ángulo \(B\) y para \(C\), se tiene

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow 16=4+9-2.6.\cos B\Rightarrow\cos B=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow\boxed{B=104,47}\)
y
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow 9=4+16-2.8.\cos C\Rightarrow\cos C=\dfrac{11}{16}\Rightarrow\boxed{C=46,56}\)

Para calcular la superficie, \(S\), del triángulo, se aplica la fórmula que relaciona ésta con el perímetro, \(p\), del triángulo, ver geometría de un triángulo

\(p=a+b+c=2+4+3=9\)

y

\(S=\sqrt{\dfrac 92(\dfrac 92-a)(\dfrac 92 -b)(\dfrac 92 -c)}=\sqrt{\dfrac 92.\dfrac 52.\dfrac 12.\dfrac 32}=\boxed{\sqrt{\dfrac{105}{8}}}\)

 

Ejercicio 7: Resolver la ecuación trigonométrica \(\tan x+\sin 2x=1\)

Sabiendo que \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) y que \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), ver ecuaciones trigonométricas, se obtiene

\(\dfrac{\sin x}{\cos x}+2\sin x\cos x=0\)

Multiplicando la expresión por \(\cos x\) a los dos lados, se tiene

\(\sin x+2\sin x\cos^2x=0\)

Sacando factor común \(\sin x\), quedaría

\(\sin x(1+2\cos^2 x)=0\Rightarrow\displaystyle \begin{cases} \sin x=0&\\\ 1+2\cos^2x=0&\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=2k\pi, x=\pi+2k\pi&\\\ \cos^2 x=-\dfrac 12&\\\end{cases}\)

del último despeje se obtiene la ráiz de un número negativo, lo cual es imposible en los números reales, por lo que la solución final será:

\(\boxed{x=2k\pi, x=\pi+2k\pi}\)

Ejercicio 8: Dado un triángulo con dos de sus lados: \(a=2\), \(b=3\) y uno de sus ángulos \(C=30\), calcular su superficie. Demostrar también el Teorema del seno

Utilizando la fórmula \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\), ver geometría de un triángulo, se tiene

\(c^2=4+9-12.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=13-6\sqrt{3}\Rightarrow c=\sqrt{2,60}\)

Para calcular la superficie del triángulo es necesario saber los lados del triángulo (\(a\), \(b\) y \(c\)) y el perímetro, \(p\) del mismo, ver superficie de un triángulo

En este caso \(p=a+b+c=2+3+\sqrt{2,60}=6,61\)

y

\(S=\sqrt{\dfrac{p}{2}(\dfrac p2-2)(\dfrac p2-3)(\dfrac p2-\sqrt{2,60})}=\boxed{2,25}\)

El Teorema del seno dice que si \(c\) es un lado del triángulo y \(C\) el ángulo opuesto a dicho lado y lo mismo para el lado \(b\) y el ángulo \(B\) y el lado \(a\) y el ángulo \(A\), entonces, ver geometría del triángulo,

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}\)

Para comprobarlo en este caso es necesario primero calcular \(B\); teniendo en cuenta el resultado obtenido para el lado \(c\) y utilizando la fórmula vista anteriormente para el lado \(b\) se tiene,

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow 9=2,60+4-2(\sqrt{2,60})2\cos B\Rightarrow \cos B=0,37\Rightarrow B=68,15\)

Por lo tanto, \(\sin B=0,92\)

Como en un triángulo se cumple que \(A+B+C=180\), ver geometría de un triángulo, se tiene que \(A=180-30-68,15=81,85\)

Ahora ya se tienen todos los datos para comprobar el Teorema pedido:

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}\Rightarrow\boxed{\dfrac{2}{0,98}=\dfrac{\sqrt{2,60}}{0,5}=\dfrac{3}{0,92}}\)

 

Ejercicio 9: Dos personas están separadas por \(1\)Km, observan un globo en el cielo con ángulos de \(25\) y \(50\) grados respectivamente. Calcular la altura a la que vuela el globo

Considerando cada persona como un vértice de un triángulo y el globo en el cielo como el tercer vértice, se puede resolver el problema

Los lados de dicho triángulo será:

- La distancia entre la persona \(1\) y la persona \(2\), \(x\), este lado será, además, la base del triángulo

- Los otros dos lados serán las rectas \(a\) y \(b\) que simulan la distancia entre cada persona y el globo, que formarán un ángulo con el primer lado de \(25\) y \(50\) grados respectivamente

Trazando una línea vertical, \(h\), desde el globo hasta el suelo, se obtienen dos triángulos

El primero tendrá como base \(x\) y como altura \(h\) (que es la altura pedida) y el lado restante será \(a\)

De esta forma, centrando la atención en el vértice donde está la primera persona (que tiene ángulo \(25\), se tiene que \(\sin 25=\dfrac{h}{a}\) y \(\cos 25=\dfrac{x}{a}\)

Como el valor de \(a\) es desconocido y el buscado es el de \(h\), se considerará la tangente del ángulo, ver expresiones trigonométricas,

\(\tan 25=\dfrac{\sin 25}{\cos 25}=\dfrac{\frac ha}{\frac xa}=\dfrac hx\)

Por otra parte, el segundo triángulo formado al trazar la vertical \(h\) desde el globo hasta el suelo cumple que \(\sin 50=\dfrac{h}{b}\) y \(\cos 50=\dfrac{1000-x}{b}\)

Calculando la tangente del ángulo en este caso, se tiene

\(\tan 50=\dfrac{\sin 50}{\cos 50}=\dfrac{\frac hb}{\frac{1000-x}{b}}=\dfrac{h}{1000-x}\)

Considerando el siguiente sistema y resolviéndolo se obtiene el resultado final

\(\begin{cases} \tan 25=\dfrac hx&\\\ \tan 50=\dfrac{h}{1000-x}&\\\end{cases}\Rightarrow x=2144,50,\quad\boxed{h=1000 m}\)

Ejercicio 10: Sabiendo que \(\sec\alpha=-\sqrt{17}\) y que \(\alpha\) pertenece al segundo cuadrante, calcular el resto de las razones trigonométricas

Consultando las expresiones trigonométricas, se tiene

\(\tan^2\alpha +1=\sec^2\alpha\Rightarrow\boxed{\tan\alpha =-4}\) y \(\boxed{\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{17}}}\)

Por otra parte, \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\Rightarrow\boxed{\sin\alpha=\dfrac{4}{\sqrt{17}}}\Rightarrow\boxed{\csc\alpha=\dfrac{\sqrt{17}}{4}}\)

Por último se tiene que \(\tan\alpha=-4\Rightarrow\boxed{\cot\alpha=-\dfrac 14}\)

 

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