\[\] Ejercicio 7: Simplificar las siguientes expresiones
a) \(\sin^3\alpha +\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha\)
b) \(\cos^3\alpha +\cos^2\alpha\cdot\sin\alpha +\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha +\sin^3\alpha\)
c) \(\cos\alpha +\sin\alpha\cdot\tan\alpha\)
d) \(\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha}\)
e) \(\frac{\sin^2\alpha}{1-\cos\alpha}\)
a) \(\sin^3\alpha +\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha\)
Recordando la expresión trigonométrica \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1\), ver expresiones trigonométricas, se tiene
\(\sin^3\alpha +\sin\alpha\cdot(-\sin^2\alpha)=\sin^3\alpha+\sin\alpha-\sin^3\alpha=\bbox[yellow]{\sin\alpha}\)
b) \(\cos^3\alpha +\cos^2\alpha\cdot\sin\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha +\sin^3\alpha\)
Utilizando dos veces, como en el apartado anterior, la expresión \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1\), se obtiene el resultado
\(\cos^3\alpha +\cos^2\alpha\cdot\sin\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha +\sin^3\alpha\Rightarrow \cos^3\alpha +(1-\sin^2\alpha)\cdot\sin\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha +\sin^3\alpha=\cos^3\alpha +\sin\alpha-\sin^3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha +\sin^3\alpha=\cos^3\alpha +\sin\alpha+\cos\alpha\cdot(1-\cos^2\alpha)=\bbox[yellow]{\sin\alpha +\cos\alpha}\)
c) \(\cos\alpha +\sin\alpha\cdot\tan\alpha\)
Sabiendo que la tangente es el seno entre el coseno, la secante la inversa del coseno y utilizando de nuevo que \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1\), ver expresiones trigonométricas, se tiene
\(\cos\alpha +\sin\alpha\cdot\tan\alpha=\cos\alpha +\sin\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}= \frac{1}{\cos\alpha}=\bbox[yellow]{\sec\alpha}\)
d) \(\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha}\)
Jugando un poco con los signos se tiene
d) \(\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha}=-\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha -\sin^2\alpha}=\bbox[yellow]{-1}\)
e) \(\frac{\sin^2\alpha}{1-\cos\alpha}\)
En este caso se utilizará la expresión \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\),
\(\frac{\sin^2\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1-\cos^2\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{1-\cos\alpha}=\bbox[yellow]{1+\cos\alpha}\)
\[\] Ejercicio 8: Demostrar que cualquiera que sean los ángulos \(\alpha,\;\beta\) se cumple \(\sin^2\alpha -\cos^2\beta =\sin^2\beta -\cos^2\alpha\)
Utilizando la expresión \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1\) en la parte de la izquierda del igual, se tiene
\(\sin^2\alpha -\cos^2\beta =\sin^2\beta -\cos^2\alpha\Rightarrow 1-\cos^2\alpha – (1-\sin^2\beta)=\sin^2\beta -\cos^2\alpha\Rightarrow \bbox[yellow]{\sin^2\beta -\cos^2\alpha=\sin^2\beta -\cos^2\alpha}\)
\[\] Ejercicio 9: Sabiendo que \(\sin 20\)º\(=0,34)\, \(\cos 20)\º\(=0,94\), resolver
a) \(\sin 70\)º
b) \(\cos 160\)º
c) \(\sin 160\)º
d) \(\cos 200\)º
e) \(\tan 160\)º
Sabiendo que \(\sin (a+b)=\sin a.\sin b+\cos a.\cos b\), \(\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b\) y que \(\cos(a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b\), \(\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b\), ver expresiones trigonométricas, y tratando de escribir los ángulos pedidos como sumas o restas del ángulo \(20\)º y ángulos conocidos, se tiene
a) \(\sin 70\)º\(\Rightarrow \sin 70=\sin(90-20)=\sin 90\cdot\cos 20 -\cos 90\cdot\sin 20=\cos 20=\bbox[yellow]{0,94}\)
b) \(\cos 160\)º\(\Rightarrow \cos 160=\cos(180-20)=\cos 180\cdot\cos 20 +\sin 180\cdot\sin 20=-\cos 20=\bbox[yellow]{-0,94}\)
c) \(\sin 160\)º\(\Rightarrow \sin 160=\sin(180-20)=\sin 180\cdot\cos 20 -\cos 180\cdot\sin 20=\sin 20=\bbox[yellow]{0,34}\)
d) \(\cos 200\)º\(\Rightarrow \cos 200=\cos(180+20)=\cos 180\cdot\cos 20 -\sin 180\cdot\sin 20=-\cos 20=\bbox[yellow]{-0,94}\)
e) \(\tan 160\)º\(=\frac{0,34}{-0,94}= \bbox[yellow]{-0,36}\)
\[\] Ejercicio 10: Se tiene un triángulo rectángulo con ángulos \(A,B,C\) y siendo \(A\) el ángulo recto. Sabiendo además que el lado opuesto al ángulo \(A\) es \(a\), el opuesto a \(B\), \(b=14\)cm y el opuesto a \(C=65\)º es \(c\), deducir los valores de \(A,B\) y de \(a,c\)
Sabiendo que los ángulos de un triángulo tienen que sumar \(180\)º y las razones trigonométricas en un triángulo, ver trigonometría, se tiene
\(A=90\)º ya que el enunciado dice que es el ángulo recto del triángulo
Por otra parte, como \(A+B+C=180\)º y se saben los valores de \(A\) y de \(C\), se tiene \(B=180-65=25\)º
Además, sabiendo que \(b\) es el lado opuesto al ángulo \(B\), se tiene \(\sin B=\frac ba\Rightarrow\sin 25=\frac{14}{a}\Rightarrow a=\frac{14}{0,4}=35\)cm
Para el lado \(c\) se tiene \(\sin C=\frac ca\Rightarrow \sin 65=\frac{c}{35}\Rightarrow c=31,5\)º
De esta manera, el resultado sería \(\bbox[yellow]{A=90, B=25, C=65, \;\; a=35, b=14, c=31,5}\)