Ejercicios de Vectores II

Ejercicio 1: Dados los puntos \(A(1,1,1)\), \(B(2,2,2)\) y \(C(1,3,3)\) consecutivos de un paralelogramo;

1. Calcular las coordenadas del cuarto vértice \(D\) y calcular el área del paralelogramo

2. Clasificar el paralelogramo por sus lados y ángulos

1. Los vectores proporcionados por el enunciado son \(\vec{AB}=(1,1,1)\) y \(\vec{BC}=(-1,1,1)\)

Las coordenadas del punto \(D\) pedido serán \(D(x_0,y_0,z_0)\)

Sabiendo que los lados de un paralelogramo son paralelos dos a dos, ver geometría de un paralelogramo,

\(\displaystyle\vec{BC}=\vec{AD}\) de forma que se tiene la igualdad \((-1,1,1)=(x_0-1,y_0-1,z_0-1)\) y, por tanto, \(x_0=0\), \(y_0=2\) y \(z_0=2\).

Así que el punto pedido será \(\displaystyle\boxed{D=(0,2,2)}\)

El área, \(A\), del paralelogramo viene dada por \(A=|\vec{AB}\times\vec{BC}|\), ver área de un paralelogramo y cómo resolver determinantes,

En este caso quedaría,

\[\begin{array}{|crl|}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 1 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}=(0,-2,2)\Rightarrow A=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\boxed{2\sqrt{2}}\]

2. Primero se comprueba la longitud de los lados de la figura, al ser un paralelogramo bastará con calcular la de dos de sus lados, \(\vec{AB}\) y \(\vec{BC}\) ya que \(\vec{AB}=\vec{DC}\) y \(\vec{BC}=\vec{AD}\), ver geometría de un paralelogramo

De forma que,

\(\displaystyle|\vec{AB}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\quad\) y \(\quad\displaystyle|\vec{BC}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)

Como los lados del paralelogramo son iguales entre sí, la figura puede ser sólamente un cuadrado o un rombo. Para diferenciar entre ambas figuras, se calcula el ángulo formado entre dos de los vectores del paralelogramo, en este caso entre \(\vec{AB}\) y \(\vec{AD}\), ver cómo calcular ángulos entre dos vectores,

\(\displaystyle\cos\alpha=\dfrac{\vec{AB}.\vec{AD}}{|\vec{AB}||\vec{AD}|}=\dfrac{-1+1+1}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\dfrac 13\Rightarrow\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}\)

Para que fuera un cuadrado el ángulo tendría que ser de \(90\) grados (\(\dfrac{\pi}{2}\)), ver geometría de un paralelogramo, como no es el caso, sólo puede ser un \(\boxed{\hbox{rombo}}\)

 

Ejercicio 2: Los puntos \(A(2,2,0)\), \(B(2,1,2)\) y \(C(1,5,-1)\) son tres puntos consecutivos de un paralelogramo;

1. Hallar las coordenadas del cuarto vértice \(D\) y calcular el área del paralelogramo

2. Clasificar el paralelogramo por sus lados y ángulos

1. Los vectores proporcionados en el enunciado son

\(\displaystyle\vec{AB}=(2,1,2)-(2,2,0)=(0,-1,2)\) y \(\displaystyle\vec{BC}=(1,5,-1)-(2,1,2)=(-1,4,-3)\)

Las coordenadas del punto buscado serán \(D(x_0,y_0,z_0)\)

Como \(\displaystyle\vec{BC}=\vec{AD}\), ver geometría de un paralelogramo, se tiene que

\(\displaystyle (-1,4,-3)=(x_0-2, y_0-2, z_0-0)\), luego \(x_0-2=-1\Rightarrow x_0=1\), \(y_0-2=4\Rightarrow y_0=6\) y \(z_0=-3\)

Por lo que el vértice buscado será \(\displaystyle\boxed{D(1,6,-3)}\)

La fórmula del Área de un paralelogramo es \(A=|\vec{AB}\times\vec{BC}|\), ver área de un paralelogramo y cómo resolver determinantes,

En este caso quedaría,

\[\begin{array}{|crl|}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\0 & -1 & 2 \\-1 & 4 & -3 \end{array}=(3-8,2,-1)=(-5,2,-1)\Rightarrow A=\sqrt{(-5)^2+2^2+(-1)^2}=\boxed{\sqrt{30}}\]

2. Primeramente se comprueba la longitud de los lados de la figura, es decir, se calcula el módulo de \(\vec{AB}\) y \(\vec{BC}\), ver cómo se calculan módulos de vectores

\(\displaystyle|\vec{AB}|=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}\quad\) y \(\quad\displaystyle|\vec{BC}|=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}\)

Como \(\displaystyle\sqrt{5}\neq\sqrt{26}\), los lados del paralelogramo no son iguales y, por tanto, sólo queda saber si es un rectángulo. Para ello se comprueba si el ángulo formado por dos de sus vectores es un ángulo recto, en este caso se comprobará con los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{AD}\), ver cómo calcular el ángulo entre dos vectores,

\(\displaystyle\cos\alpha=\dfrac{\vec{AB}.\vec{AD}}{|\vec{AB}||\vec{AD}|}=\dfrac{0-4-6}{\sqrt{5}\sqrt{26}}=\dfrac{-10}{\sqrt{5}\sqrt{26}}\Rightarrow\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}\)

Por lo que el paralelogramo \(\boxed{\mbox{no es un rect}{\acute{a}}\mbox{ngulo}}\)

 

Ejercicio 3: Se considera un paralelepípedo de bases \(ABCD\) y \(EFGH\), con \(A(1,1,1)\), \(B(2,1,1)\), \(C(2,4,1)\) y \(D(1,2,7)\). Hallar el área de una de las bases de la figura, el volúmen del paralelepípedo y la distancia existente entre sus bases

Como las bases de un paralelepípedo están formadas por paralelogramos, ver geometría de los paralelogramos y de los paralelepípedos, se tiene

\(\displaystyle\vec{AB}=\vec{DC}=\vec{EF}=\vec{HG}\)
\(\displaystyle\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{EH}=\vec{FG}\)
\(\displaystyle\vec{AE}=\vec{BF}=\vec{CG}=\vec{DH}\)

Luego, el área de las bases será \(\displaystyle|\vec{AB}\times\vec{AD}|=|\vec{AB}\times\vec{BC}|\)

Escribiendo cada vector con los datos del enunciado, se obtiene

\(\displaystyle\vec{AB}=(2,1,1)-(1,1,1)=(1,0,0)\quad\) y \(\quad\displaystyle\vec{BC}=(2,4,1)-(2,1,1)=(0,3,0)\)

De forma que se calcula el producto vectorial, ver cómo se calcula el producto vectorial

\[\vec{AB}\times\vec{BC}=\begin{array}{|crl|}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0\end{array}=3k=(0,0,3)\Rightarrow A=\sqrt{3^2}\Rightarrow\boxed{A=3}\]

El volúmen, \(V\), será el producto mixto de los vectores \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) y \(\vec{AE}=(1,2,7)-(1,1,1)=(0,1,6)\), ver cómo se calcula el producto mixto entre vectores

\[\begin{array}{|crl|}1 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 1 & 6\end{array}=18\Rightarrow \boxed{V=18}\]

La distancia entre las bases del paralelepípedo será la altura, \(h\), de la figura, y como el volúmen es la base por la altura, se tiene que

\(\displaystyle h=\dfrac{18}{3}=\boxed{h=6}\)

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