\[\]Ejercicio 4: Pasar a forma algebraica las siguientes expresiones logarítmicas
a) \(\log A=3\log x+\log y-2\log z\)
b) \(\log B=4\log x-5\log y+2\log z\)
c) \(\log C=2\log x-3\log y+2\)
d) \(\log D=2-3\log x+3\log z\)
Para poder hacer el ejercicio, recordar cómo se opera con logaritmos
a) \(\log A=3\log x+\log y-2\log z\Rightarrow \log A=\log x^3+\log y-\log z^2\Rightarrow \log A=\log\frac{x^3\cdot y}{z^2}\Rightarrow\bbox[yellow]{A=\frac{x^3\cdot y}{z^2}}\)
b) \(\log B=4\log x-5\log y+2\log z\Rightarrow\log B=\log x^4+\log z^2-\log y^5\Rightarrow \log B=\log\frac{x^4\cdot z^2}{y^5}\Rightarrow\bbox[yellow]{\frac{x^4\cdot z^2}{y^5}}\)
c) \(\log C=2\log x-3\log y+2\Rightarrow \log C=\log x^2-\log y^3+\log 100\Rightarrow \log C=\log\frac{x^2\cdot 100}{y^3}\Rightarrow\bbox[yellow]{C=\frac{x^2\cdot 100}{y^3}}\)
d) \(\log D=2-3\log x+3\log z\Rightarrow\log D=\log 100-\log x^3+\log z^3\Rightarrow \log D=\log\frac{z^3\cdot 100}{x^3}\Rightarrow\bbox[yellow]{D=\frac{z^3\cdot 100}{x^3}}\)
\[\]Ejercicio 5: Decidir si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas y argumentar el porqué
a) \(\log 2+\log 3=\log 5\)
b) \(\log 2+\log 3=\log 6\)
c) \(\log 15-\log 5=\log 3\)
d) \(\log 2x+\log 1=\log (2x+1)\)
Teniendo en cuenta la teoría sobre operaciones con logaritmos, se tiene el resultado
a) \(\log 2+\log 3=\log 5\) Es \(\bbox[yellow]{\hbox{Falso}}\)
ya que \(\log 2\cdot 3=\log 5\Rightarrow \log 6=\log 5\Rightarrow 6=5\Rightarrow\) contradicción
b) \(\log 2+\log 3=\log 6\)Es \(\bbox[yellow]{\hbox{Verdadero}}\)
ya que como se ha visto en el apartado anterior, \(\log 2\cdot 3=\log 6\Rightarrow \log 6=\log 6\Rightarrow 6=6\)
c) \(\log 15-\log 5=\log 3\) Es \(\bbox[yellow]{\hbox{Verdadero}}\)
ya que desarrollando se concluye lo siguiente \(\log 15-\log 5=\log 3\Rightarrow \log\frac{15}{5}=\log 3\Rightarrow\log 3=\log 3\)
d) \(\log 2x+\log 1=\log (2x+1)\) Es \(\bbox[yellow]{\hbox{Falso}}\)
operando un poco la expresión, se tiene \(\log 2x+\log 1=\log (2x+1)\Rightarrow \log 2x\cdot 1=\log(2x+1)\Rightarrow 2x=2x+1\Rightarrow 0=1\Rightarrow\) contradicción
\[\] Ejercicio 6: Resolver las siguientes ecuaciones
a) \(\log x+\log 50=\log 1000\)
b) \(\log x=1+\log (22-x)\)
c) \(2\log x^3=\log 8+3\log x\)
Utilizando las propiedades de los logaritmos, se obtienen los resultados
a) \(\log x+\log 50=\log 1000\Rightarrow \log 50\cdot x=\log 1000\Rightarrow 50x=1000\Rightarrow\bbox[yellow]{x=20}\)
b) \(\log x=1+\log (22-x)\Rightarrow \log x=\log 10+\log (22-x)\Rightarrow x=10(22-x)=220-10x\Rightarrow 11x=220\Rightarrow\bbox[yellow]{x=20}\)
c) \(2\log x^3=\log 8+3\log x\Rightarrow 2\log x^3=\log (8x^3)\Rightarrow \log x^6=\log (8x^3)\Rightarrow x^6=8x^3\Rightarrow\bbox[yellow]{x=2}\)