Ejercicio 1: Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos vale \(9\) m. Suponiendo los catetos del triángulo \(x\) e \(y\) y sabiendo que el área de un triángulo viene dada por (ver la expresión para el área de un triángulo): \(S=\displaystyle\frac{xy}{2}\) Sabiendo […]
Ejercicio : (Junio 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos) Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}x^2-4x+3&x\leq 1\\ -x^2+4x-3&x>1\\\end{cases}\) a) (1 pto) Estúdiese la continuidad y la derivabilidad de la función \(f(x)\) b) (1 pto) Represéntese gráficamente la función \(f(x)\) c) (1 pto) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de \(f(x)\), el eje \(OX\), […]
Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos) Se considera la función real de variable real definida por \(f(x)=\frac{x^3}{x^2-9}\) se pide: a) (1 pto) Hallar las asíntotas de su gráfica b) (1 pto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=1\) a) Para estudiar […]
Ejercicio : (Junio 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)Hallar \(a\), \(b\) y \(c\) de modo que la función \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) alcance en \(x=1\) un máximo relativo de valor \(2\) y tenga en \(x=3\) un punto de inflexión Los datos que da el enunciado son los siguientes \(f(1)=0, \quad f'(1)=0\quad\hbox{y}\quad f»(3)=0\) Para calcular los máximos y mínimos […]
Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 3 ptos) Dada la función \(f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}\) Se pide: a) (0,75 ptos) Hallar las asíntotas de su gráfica b) (1,75 ptos) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión c) (0,5 ptos) Esbozar la gráfica de la función a) Para estudiar las asintótas de […]
Ejercicio : (Junio 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos) Calcular razonadamente las siguientes integrales a) (1 pto) \(\displaystyle\int \frac{x-3}{x^2+9}dx\qquad\quad\) b) (1 pto) \(\displaystyle\int_1^{2}\frac{3-x^2+x^4}{x^3}dx\) a) La integral puede escribirse como la resta de dos integrales, ver propiedades de las integrales y consultar también la tabla de integrales \(\displaystyle\int \frac{x-3}{x^2+9}dx=\int \frac{x}{x^2+9}dx-\int \frac{3}{x^2+9}dx=\frac 12\ln |x^2+9|-3\frac 13\arctan \frac x3 […]