Probabilidad en Selectividad 2012 II

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se dispone de cinco cajas opacas. Una contiene una bola blanca, dos contienen una bola negra y las otras dos están vacías. Un juego consiste en ir seleccionando al azar y secuencialmente una caja no seleccionada previamente hasta obtener una que contenga una bola. Si la bola de la caja seleccionada es blanca, el jugador ganar; si es negra, el jugador pierde

a) Calcúlese la probabilidad de que el jugador gane

b) Si el jugador ha perdido, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado una sóla caja?

Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:

\(B\equiv\) Bola blanca
\(N\equiv\) Bola negra
\(V\equiv\) Urna vacía
\(G\equiv\) Ganar el juego

Los datos que da el enunciado son los siguientes

\(P(B)=\dfrac{1}{5}\)
\(P(N)=\dfrac{2}{5}\)
\(P(V)=\dfrac 25\)
\(P(B|V)=\dfrac 14\)
\(P(V|V)=\dfrac 14\)
\(P(B|V\cap V)=\dfrac 13\)

a) La probabilidad de ganar será la probabilidad de ganar habiendo sacado la bola blanca de la primera caja, más la probabilidad de que la primera caja estuviera vacía y haber sacado la bola blanca en la segunda caja y más la probabilidad de que las dos primeras cajas escogidas estuvieran vacías y haber sacado la bola blanca finalmente de la tercera caja, ver la teoría de la probabilidad

\(P(G)=P(B\cup(V\cap B)\cup (V\cap\cap V \cap B))=P(B)+P(V\cap B)+P(V\cap V\cap B)=P(B)+P(V).P(V|V).P(B|V\cap V)=\dfrac 15+\dfrac 25.\dfrac 14+\dfrac 25.\dfrac 14.\dfrac 13=\boxed{\dfrac 13}\)

b) La probabilidad de que el jugador haya seleccionado una sóla caja sabiendo que ha ganado el juego será una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada

\(P(N|\bar{G})=\dfrac{P(N\cap \bar{G})}{P(\bar{G})}=\dfrac{P(N)}{1-P(G)}=\dfrac{\frac 25}{1-\frac 13}=\boxed{\dfrac 35}\)

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se consideran dos sucesos \(A\) y \(B\) tales que:

\(P(A)=\dfrac 13\qquad\)\(\qquad P(B|A)=\dfrac 14\qquad\)\(\qquad P(A\cup B)=\dfrac 12\qquad\)

Calcúlense razonadamente:
a) \(P(A\cap B)\)
b) \(P(B)\)
c) \(P(\bar{B}|A)\)
d) \(P(\bar{A}|\bar{B})\)

a) Teniendo en cuenta el Teorema de la probabilidad total, ver la teoría de la probabilidad, se tiene

\(P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\dfrac 13.\dfrac 14=\boxed{\dfrac{1}{12}}\)

b) Sabiendo \(P(A)\) y \(P(A\cap B)\), se puede despejar el dato pedido,

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)=\dfrac 12+\dfrac{1}{12}-\dfrac 13=\boxed{\dfrac 14}\)

c) Aplicando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada y teniendo en cuenta que \(\bar{B}\cap A=A-(B\cap A)\), se obtiene

\(P(\bar{B}|A)=\dfrac{P(\bar{B}\cap A)}{P(A)}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\frac 13-\frac{1}{12}}{\frac 13}=\boxed{\dfrac 34}\)

d) Utilizando nuevamente el Teorema de Bayes y la leyes de Morgan, se tiene

\(P(\bar{A}|\bar{B})=\dfrac{P(\bar{B}\cap \bar{A})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(\bar{A\cup B})}{1-P(B)}=\dfrac{1-P(A\cup B)}{1-P(B)}=\dfrac{1-\frac 12}{1-\frac 14}=\boxed{\dfrac 23}\)

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Estadística en Selectividad 2014

Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)

La estatura en centímetros (cm) de los varones mayores de edad de una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma= 16\) cm.

1. Se tomó una muestra aleatoria simple de 625 individuos obteniéndose una media muestral \(x = 169\) cm. Hállese un intervalo de confianza al 98 % para \(\mu\).
2. ¿Cuál es el mínimo tamaño muestral necesario para que el error máximo cometido en la estimación de \(\mu\) por la media muestral sea menor que 4 cm, con un nivel de confianza del 90 %?

1. Para recordar la fórmula del intervalo de confianza revisar la teoría de estadística,

\(\hbox{IC}= (\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, \bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt n})\)

con \(\bar{x}=169\), \(\sigma=16\), \(n=625\) y \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,325\), por lo tanto,

\(\hbox{IC}= (169-2,325\dfrac{16}{\sqrt{625}}, 169+2,325\dfrac{16}{\sqrt{625}}=\boxed{(167, 512; 170, 488)}\)

2. El error máximo viene dado por la siguiente expresión \(E=z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\), ver teoría de estadística, por lo tanto se tiene

\(4=1,645\dfrac{16}{\sqrt n}\Rightarrow\boxed{n=25}\)

Ejercicio :(Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)

El mínimo tamaño muestral necesario para estimar la media de una determinada característica de una población que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica \(\sigma\), con un error máximo de 3,290 y un nivel de confianza del 90 %, supera en 7500 unidades al que se necesitaría si el nivel de confianza fuera del 95 % y el error máximo fuera de 7,840.
Exprésense los tamaños muestrales en función de la desviación típica \(\sigma\) y calcúlense la desviación típica de la población y los tamaños muestrales respectivos

Nota:Utilícese \(z_0,05 = 1, 645\)

Sabiendo la fórmula del error de estimación, se tiene que

\(E=z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Por lo tanto,

\(3,290=1,645\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}\Rightarrow \boxed{n_1=0,25\sigma ^2}\)
y
\(7,840=1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}\Rightarrow \boxed{n_2=0,0625\sigma ^2}\)

Como el enunciado dice que el tamaño muestral \(n_1\) supera en 7500 al tamaño muestral \(n_2\), por lo tanto

\(n_1=n_2+7500\Rightarrow 0,25\sigma ^2= 0,0625\sigma ^2 + 7500\Rightarrow \boxed{\sigma= 200}\)

Por lo tanto, \(n_1=0,25.(200)^2\) y \(n_2=0,0625.(200)^2\). Así que \(\boxed{n_1=10000}\) y \(\boxed{n_2=2500}\)

 

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Análisis en Selectividad (Ciencias) 2012 II

Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x+A&x\leq 3\\ -4+10x-x^2&x>3\\\end{cases}\)

se pide:

a) (1 pto) Hallar el valor de \(A\) para que la función sea continua. ¿Es derivable para ese valor de \(A\)?
b) (1 pto) Hallar los puntos en los que \(f'(x)=0\)
c) (1 pto) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de \(f(x)\) en el intervalo \([4,8]\)

a) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=3\) (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}(3x+A)=9+A=f(3)\)

Calculando el otro límite lateral, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}(-4+10x-x^2)=-4+10.3-3^2=17\)

Luego, para que la función sea continua en \(3\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(17=9+A\Rightarrow\boxed{A=8}\)

Es decir, la función quedaría como

\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x+8&x\leq 3\\ -4+10x-x^2&x>3\\\end{cases}\)

Para que la función sea derivable tiene que cumplirse que \(f'(3^{-})=f'(3^{+})\), ver derivabilidad

En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene

\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}3&x\leq 3\\ 10-2x&x>3\\\end{cases}\)

Evaluando \(f'(3^{-})=f'(3^{+})\), se tiene que \(3=10-2.3\Rightarrow 3=4\Rightarrow\hbox{Imposible}\), luego, \(\boxed{f(x) \hbox{ no es derivable en }3}\)

b) Como en el intervalo \(x\leq 3\) el valor de la derivada es \(3\), en ese intervalo nunca podrá ser cero \(f'(x)\), luego sólo hay que mirarlo en el intervalo restante para obtener el resultado

Si \(x>3\), \(10-2x=0\Rightarrow \boxed{x=5}\)

c) Para calcular sus máximos y mínimos se iguala la derivada a cero, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función

En el apartado anterior se ha obtenido el punto crítico \(x=5\) que, evaluándolo en la función, se obtiene \(f(5)=21\).

La función es una parábola abierta, ver funciones elementales, por lo que su vértice (y su máximo absoluto) se alcanzará en \((5,21)\) y será \(\boxed{21}\)

El mínimo absoluto se alcanzará en alguno de los extremos del intervalo \([4,8]\), evaluando la función en ambos valores, se tiene \(f(4)=20>12=f(8)\)

Luego, el mínimo absoluto se alcanzará en \((8,12)\) y será \(\boxed{12}\)

Por lo tanto, se tendrá el resultado \(\boxed{y=\dfrac{x}{\pi^2}-\dfrac{1}{\pi}}\)
Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Dada la función \(f(x)=x^2\sin x\), se pide:

a) (1 pto) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación \(f(x)=0\) tiene alguna solución en el intervalo abierto \((\dfrac{\pi}{2},\pi)\)

b) (1 pto) Calcular la integral de la función en el intervalo \([0,\pi]\)

c) (1 pto) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(y=f(x)\) en el punto \((\pi,f(\pi))\)

a) La función \(f(x)\) es el producto de dos funciones continuas en \(\mathbb{R}\) que son estrictamente positivas en el intervalo que da el ejercicio, de manera que la función \(\boxed{\hbox{no se anula en }(\dfrac{\pi}{2},\pi)}\)

b) La integral se resolverá por partes, recordar cómo resolver una integral por partes, siendo

\(u=x^2\Rightarrow du=2xdx\quad\) y \(\quad dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x\),

De esta forma,

\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x) 2xdx \)

La integral obtenida no es inmediata, de forma que se vuelve a utilizar el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso,

\(u=x\Rightarrow du=dx\quad\) y \(\quad dv=\cos xdx\Rightarrow v=\sin x\)

Por lo tanto,

\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x) 2xdx=x^2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}+2\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin xdx\Big]\)

Consultando ahora la tabla de integrales, se obtiene

\(\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\sin xdx==-x^2\cos x+2x\sin x-2(-\cos x)\Big]_0^{\pi}=(-\pi ^2\cos \pi +2\pi\sin \pi +2\cos \pi)-(-0^2\cos 0+2.0.\sin 0 +2\cos 0)=\boxed{\pi ^2 -4}\)

c) La ecuación de la recta tangente en \(x=\pi\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta

\(y-f(\pi)=f'(\pi)(x-\pi)\)

Y la ecuación normal será \(y-f(\pi)=\dfrac{-1}{f'(\pi)}(x-\pi)\)

Primeramente, se calculará el valor de la función en el punto pedido; \(f(\pi)=\pi^2\sin\pi=\pi^2\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas

\(f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x\Rightarrow f'(\pi)=2\pi\sin \pi +\pi^2\cos \pi=2\pi.0+\pi^2(-1)=-\pi^2\)

 

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Análisis en Selectividad (Ciencias) 2011

Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

a) (1 pto) Calcular la integral \(\displaystyle\int_1^3x\sqrt{4+5x^2}dx\)

b) (1 pto) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función \(f(x)=\sqrt{12-3x^2}\)

a) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene

\(\displaystyle\int_1^3x\sqrt{4+5x^2}dx=\displaystyle\int_1^3 x(4+5x^2)^{\frac 12}dx=\dfrac{1}{10}\dfrac{(4+5x^2)^{\frac 32}}{\frac 32}\Big]_1^3=\boxed{\dfrac{1}{15}(7^3-3^3)}\)

b) Para calcular los máximos y mínimos de la función, se derivará y se igualará a cero su derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y también consultar la tabla de derivadas

En este caso, \(f'(x)=\dfrac 12(12-3x^2)^{-\frac 12}(-6x)=\dfrac{-6x}{2\sqrt{12-3x^2}}=0\Rightarrow x=0\)

Luego, el punto crítico es \(x=0\) y evaluando el signo de la derivada antes y después de dicho punto, se tiene que \(f'(x<0)<0\) y \(f'(x>0)>0\), por lo tanto, sabiendo que \(f(0)=2\), el máximo estará en \(\boxed{(0,\sqrt{2})}\)

El dominio de la función serán todos los números que hagan que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo, ver dominio de una función, en este caso \(12-3x^2\geq 0\Rightarrow x\geq 2\) y \(x\leq 2\), es decir, el dominio será \(x\in [-2,2]\)

La función es una parábola hacia abajo con vértice en \((0,\sqrt{2})\), ver funciones elementales, por lo que sus mínimos serán los puntos que cortan al eje \(OX\), es decir, sus mínimos (en el dominio en el que está definida) serán \(\boxed{(-2,0), (2,0)}\)

Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación:2 ptos)

a) (1 pto) Calcular el siguiente límite \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)

b) (1 pto) Demostrar que la ecuación \(4x^5+3x+m=0\) sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número \(m\). Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan

a) \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\dfrac{\infty}{\infty}\)

De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite se dividirá entre la raíz de \(x\) arriba y abajo de la fracción, ver cómo resolver límites

\(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}=\boxed{1}\)

b) Para probar que la ecuación tiene al menos una solución real, se aplicará el \(\boxed{\hbox{Teorema de Bolzano}}\) a la función \(f(x)=4x^5+3x+m\), ver teoremas fundamentales

Como la función es polinómica, será continua en todos los números reales, ver continuidad de una función

La función cambia de signo entre \(-\infty\) y \(\infty\), luego, por el Teorema de Bolzano, existe un \(c\in (-\infty,\infty)\) tal que \(f(c)=0\), luego \(c\) será una solución de \(4x^5+3x+m=0\)

Para probar que dicha solución es, de hecho, única, se usará el \(\boxed{\hbox{Teorema de Rolle}}\), ver teoremas fundamentales

Dicho teorema dice que siendo \(f(x)\) continua en el intervalo \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), si \(f(a)=f(b)\), entonces existe un punto \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=0\)

Al ser polinómica, \(f(x)\) es continua y derivable en todos los números reales, ver continuidad y derivabilidad

De forma que, suponiendo que existen dos puntos \(a\) y \(b\) tal que \(f(a)=f(b)\), por el Teorema de Rolle, debería existir un punto \(c\) en el intervalo \((a,b)\) tal que anulara su derivada

La derivada viene dada como, ver tabla de derivadas, \(f'(x)=20x^4+3=0\Rightarrow x=(-\dfrac{3}{20})^{\frac 14}\notin\mathbb{R}\)

Luego, como no existe un punto que anule la derivada, no existen dos puntos tales que \(f(a)=f(b)=0\) (no existen dos soluciones de \(f(x)\)), y por lo tanto la solución de \(f(x)\) tiene que ser única

 

Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Dada la función \(f(x)=\dfrac{ax^4+1}{x^3}\)

a) (1 pto)Determinar el valor de \(a\)para el que la función posee un mínimo relativo en \(x=1\). Para ese valor de \(a\), obtener los otros puntos en que \(f\) tiene un extremo relativo
b) (1 pto) Obtener las asíntotas de la gráfica de \(y=f(x)\) para \(a=1\)
c) (1 pto) Esbozar la gráfica de la función para \(a=1\)

a) Para que la función tenga un mínimo en \(x=1\), tiene que cumplirse que la derivada en ese punto sea cero, ver máximos y mínimos y consultar también la tabla de derivadas

\(f'(x)=\dfrac{4ax^3.x^3-(ax^4+1)3x^2}{(x^3)^2}\Rightarrow \dfrac{4ax^4-3ax^4-3}{x^4}\Rightarrow \dfrac{ax^4-3}{x^4}\Rightarrow f'(1)=\dfrac{a-3}{1}=0\Rightarrow a=3\)

Para saber si con ese valor de \(a\), \(x=1\) es un mínimo, se evalúa \(x=1\) en la segunda derivada,

\(f''(x)=\dfrac{12x^3.x^4-(3x^4-3)4x^3}{(x^4)^2}=\dfrac{12}{x^5}\)

Sustituyendo \(x=1\), se tiene que \(f''(1)=12>0\). Luego, en \(x=1\) hay, efectivamente, un mínimo y, por lo tanto, el resultado será \(\boxed{a=3}\)

b) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas

. Asintótas verticales:

Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, el denominador se anula en \(x=0\) y consultando cómo resolver límites, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{x^4+1}{x^3}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{x^4+1}{x^3}=\infty\)

Luego, hay una asíntota vertical en \(\boxed{x=0}\)

. Asintótas horizontales:

Consultando cómo se resuelven límites se tiene que

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^4+1}{x^3}=\infty\)

Luego, \(\boxed{\hbox{no hay horizontales}}\)

. Asintótas oblicuas:

Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)

Con \(m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\dfrac{x^4+1}{x^3}}{x}=1\)

Y \(n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(\dfrac{x^4+1}{x^3}-x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^4+1-x^4}{x^3}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^3}=0\)

Luego, la recta \(\boxed{y=x}\) será asíntota oblicua

c) Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función

- El dominio en este caso serán todos los números reales menos el cero ya que el denominador sólo se anula en este valor, ver dominio de una función

- Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(f(x)=0\Rightarrow x=\pm (-1)^{\frac 14}\Rightarrow\hbox{Imposible}\), luego la función no cortará a \(y=0\)

Por otra parte, como el cero no está en el dominio, la función tampoco cortará a \(x=0\)

Con estos datos y los obtenidos en los apartados anteriores, es posible dibujar la función

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Ejercicio : (Junio 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Dada la función \(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2+1}\)

se pide:

a) (0,75 ptos) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f(x)\)
b) (0,75 ptos) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de \(f(x)\)
c) (0,75 ptos) Hallar las asíntotas y la gráfica de \(f(x)\)
d) (0,75 ptos) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de \(f(x)\), el eje de abscisas y las rectas \(y=x+2,x=1\)

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se estudiarán calculando los máximos y mínimos de la función, ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas

\(f'(x)=\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2+2)2x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow \dfrac{2x^3+2x-2x^3-4x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}=0\Rightarrow -2x=0\Rightarrow x=0\)

Para saber si el punto crítico obtenido es máximo o mínimo, se evalúa en la segunda derivada,

\(f''(x)=\dfrac{(x^2+1)(-2(x^2+1)+8x^2)}{(x^2+1)^4}=\dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\)

Sustituyendo el valor obtenido, \(x=0\), se tiene que \(f''(0)=-2<0\)

De esta forma, consultando cómo saber si los puntos críticos son máximos o mínimos, se concluye que (sabiendo que \(f(0)=2\)) la función tiene un \(\boxed{\hbox{mximo en }(0,2)}\)

b) Para hallar los puntos de inflexión de \(f(x)\), se estudia la curvatura de la función, para ello se iguala la segunda derivada a cero (hallada en el apartado anterior), ver cómo estudiar la curvatura de una función y consultar también cómo resolver polinomios

\(f''(x)=\dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}=0\Rightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Para saber cómo cambia la curvatura de la función en los puntos obtenidos, se evalúa la segunda derivada antes y después de dichos puntos

\(f''(x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3})>0, f''(\dfrac{\sqrt{3}}{3}>x>-\dfrac{\sqrt{3}}{3})<0, f''(x>\dfrac{\sqrt{3}}{3})>0\). Por lo tanto, ver cómo estudiar la curvatura de una función, se tiene que la función antes de \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) será cóncava, entre \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) y \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) será convexa y después de \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) será cóncava de nuevo

De forma que sustituyendo en la función el valor obtenido al igualar la segunda derivada a cero, los puntos de inflexión serán \(\boxed{(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac 74),(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac 74)}\)

c) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas

. Asintótas verticales:

Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador no se anula en ningún punto real \(x^2+2=0\Rightarrow x=\sqrt{-2}\), \(\boxed{\hbox{no hay verticales}}\)

. Asintótas horizontales:

Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L'Hôpital se tiene que

\(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+2}{x^2+1}=1\)

Luego, hay una asíntota horizontal en \(\boxed{\hbox{horizontales }\equiv y=1}\)

. Asintótas oblicuas:

Como hay asíntotas horizontales, \(\boxed{\hbox{no hay oblicuas}}\), ver la teoría de asíntotas

Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función

- Como ya se ha comentado, el dominio en este caso serán todos los números reales ya que el denominador no se anula para ningún valor real

- Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes

\(f(x)=0\Rightarrow \hbox{Imposible}\), luego la función no cortará a \(y=0\)

Por otra parte, como \(f(0)=2\), se obtiene el punto de corte, \((0,2)\)

Con estos datos y los obtenidos en los apartados anteriores, es posible dibujar la función

olvido5

c) Para hallar el área pedida, se calculará la integral definida de la resta entre \(f(x)\) y \(y=x+2\), ver cómo se calcula una integral definida

Para saber los límites de la integral, se estudian los puntos de cortes de ambas funciones,

\(\dfrac{x^2+2}{x^2+1}=x+2\Rightarrow x=0\)

De forma que los límites de la integral serán \(0\) y \(1\), consultando la tabla de integrales es posible obtener el resultado pedido

\(A=\displaystyle\int_0^1(x+2-\dfrac{x^2+2}{x^2+1})dx=\int_0^1(x+1-\dfrac{1}{x^2+1})dx=(\dfrac{x^2}{2}+x-\arctan x\Big]_0^1=\boxed{\dfrac 32-\dfrac{\pi}{4}}\)

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Análisis en Selectividad (Ciencias) 2014 II

Ejercicio : (Junio 2014 Opción A) (Calificación:2 ptos)

Calcular justificadamente:

a) \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}\)
b) \(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}\)

a) Para estudiar los límites, es importante recordar la teoría de cómo resolver límites

\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\dfrac 00\)

Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se utilizará la Regla de L'Hôpital para resolver el límite, para ello consultar también la tabla de derivadas,

\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-2-e^x+3\cos (3x)}{2x}=\dfrac 00\)

Aplicando de nuevo la Regla de L'Hôpital, se tiene el resultado

\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2x-e^x+\sin (3x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-e^x-9\sin (3x)}{2}=\boxed{-\dfrac 12}\)

b) Sustituyendo directamente el valor en el límite se obtiene

\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\dfrac{\infty}{\infty}\)

Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se desarrollarán los polinomios y se dividirá entre la máxima potencia en el numerador y también en el denominador, ver cómo resolver límites de funciones racionales,

\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(5x^2+2)(x-6)}{(x^2-1)(2x-1)}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{5x^3-30x^2+2x-12}{2x^3-x^2-2x+1}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{5-\frac{30}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{12}{x^3}}{2-\frac 1x-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\boxed{\dfrac 52}\)

Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Dada la función: \(f(x)=\displaystyle\begin{cases}a+\ln (1-x)&x<0\\\ x^2e^{-x}&x\geq 0\\\end{cases}\)

(donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano) se pide:

a) (1 pto) Calcular \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)\) y \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)\)
b) (1 pto) Calcular el valor de \(a\) para que \(f(x)\) sea continua en todo \(\mathbb{R}\)
c) (1 pto) Estudiar la derivabilidad de \(f\) y calcular \(f'\), donde sea posible

a) Para estudiar los límites, se recomienda recordar la teoría de cómo resolver límites

\(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\)

Como se ha obtenido una indeterminación, ver indeterminaciones, se utilizará la Regla de L'Hôpital para resolver el límite, para ello consultar también la tabla de derivadas,

\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2x}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\)

Se aplica de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniendo

\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2}{e^x}=\boxed{0}\)

Por otra parte,

\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(a+\ln (1-x))=\boxed{\infty}\)

b) La función está formada por polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{x^2}{e^x}=0\)

Calculando el otro límite lateral, se tiene

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}(a+\ln (1-x))=a\)

Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\boxed{a=0}\)

c) Para que la función sea derivable la función tiene que ser continua (en este caso, como se ha visto en el apartado anterior, \(a=0\)) y además tiene que cumplirse que \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), ver derivabilidad

En este caso, calculando primeramente la derivada de la función, se tiene

\(f'(x)=\displaystyle\begin{cases}-\dfrac{1}{1-x}&x<0\\ xe^{-x}(2-x)&x\geq 0\\\end{cases}\)

Evaluando \(f'(0^{-})=f'(0^{+})\), se tiene que \(-1=0\Rightarrow \hbox{Imposible}\), luego, \(\boxed{f(x) \hbox{ no es derivable en }0}\)

Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafo, el coste es de catorce euros. Se pide:

a) (1 pto) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costará un rotulador

b) (1 pto) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores

Primeramente se definen las variables del ejercicio

\(x\equiv\) precio de un cuaderno
\(y\equiv\) precio de un rotulador
\(z\equiv\) precio de un bolígrafo

a) Los datos dados en el enunciado se pueden expresar como un sistema de ecuaciones, ver sistemas de ecuaciones y, despejando, expresar dicho sistema en función de la variable \(x\) e \(y\), es decir, en función del precio de un cuaderno y de un rotulador, respectivamente

\(\begin{cases}5x+2y+3z=22&\\\ 2x+y+6z=14&\\\end{cases}\Rightarrow\boxed{\begin{cases}x=-6+9z&\\\ y=26-24z&\\\end{cases}}\)

b) Sustituyendo las expresiones despejadas en el apartado anterior para el precio de un cuaderno y de un rotulador, se tiene \(8x+3y=8(-6+9z)+3(26-24z)=\boxed{30\hbox{ euros}}\)

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