Ejercicios de Integrales definidas III

Ejercicio 1: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_{-1}^1(\sqrt[3]{x}-2)dx\) La integral es directa, ver la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, así que se resuelve la integral y se evalúa el resultado en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas, \(\displaystyle\int_{-1}^1(\sqrt[3]{x}-2)dx=\frac{3x^{\frac 43}}{4}-2x\Big|_{-1}^1\) De forma que el resultado final […]

Ejercicios de Integrales definidas II

Ejercicio 1: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_0^4\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx\) Reescribiendo la integral se obtiene, \(\displaystyle\int_0^4\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\displaystyle\int_0^4(2x+1)^{-\frac 12}dx\) La integral es directa, ver la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, así que se resuelve la integral y se evalúa el resultado en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas, $$\displaystyle\int_0^4(2x+1)^{-\frac […]

Ejercicios de Integrales definidas I

Ejercicio 1: Comprobar el valor de la siguiente integral definida \(\displaystyle\int_0^3 3xdx\) La integral es directa, ver la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, así que se resuelve la integral y se evalúa en los límites pedidos, ver cómo resolver integrales definidas, \(\displaystyle\int_0^3 3xdx=\dfrac{3x^2}{2}\Big|_0^3=\frac{27}{2}-0\) De forma que el resultado final sería […]

Ejercicios de Integrales trigonométricas III

Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-16x^2+16x-3}}dx\) Reescribiendo la integral queda \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-16x^2+16x-3}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-16x^2+16x-4}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(4x-2)^2}}dx\) Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado \(\boxed{\frac 14\arcsin (4x-2)+C}\)   Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{2x-5}{x^2+2x+2}dx\) Dividiendo la integral en dos fracciones queda, \(\displaystyle\int\frac{2x-5}{x^2+2x+2}dx= \displaystyle\int\frac{2x}{x^2+2x+2}-\frac{5}{x^2+2x+2}dx\) Para que en el numerador de la primera fracción aparezca la […]

Ejercicios de Integrales trigonométricas II

Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+16}dx\) Reescribiendo la integral queda \(\displaystyle\int\frac{x}{x^4+16}dx= \displaystyle\int\frac{x}{16((\dfrac{x^2}{4})^2+1)}dx\) Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado \(\boxed{\displaystyle\frac 18\arctan \frac{x^2}{4}+C}\) Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2x}}dx\) Haciendo el cambio de variable \(u=\sin x\), \(du=\cos xdx\), se puede reescribir la integral quedando, \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^2x}}dx= \displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{4-u^2}}dx=\displaystyle\int\frac{du}{2\sqrt{1-(\frac{u}{2})^2}}dx\) […]

Ejercicios de Integrales trigonométricas I

Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx\) Reescribiendo la integral queda \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx\) Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado \(\boxed{\frac 12\arcsin 2x+C}\) Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{7+(x-3)^2}}dx\) Reescribiendo la integral queda \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{7+(x-3)^2}}dx= \displaystyle\int\dfrac{1}{7(1+(\dfrac{x-3}{\sqrt{7}})^2)}dx\) Con ayuda de la tabla de integrales se tiene el resultado \(\boxed{\dfrac 17\arctan \dfrac{x-3}{\sqrt{7}}+C}\)   […]