Ejercicios de Optimización I

Ejercicio 1: Calcular el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus catetos vale \(9\) m. Suponiendo los catetos del triángulo \(x\) e \(y\) y sabiendo que el área de un triángulo viene dada por (ver la expresión para el área de un triángulo): \(S=\displaystyle\frac{xy}{2}\) Sabiendo […]

Ejercicios de Geometría analítica I

Ejercicio 1: Expresar de todas las maneras posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(1,2)\) y \(B(2,5)\). Calcular el ángulo formado por la recta y el eje de abcisas Primero se calcula el vector director de la recta, ver cómo calcular un vector con dos puntos dados, \(\displaystyle\vec{AB}=(2,5)-(1,2)=(1,3)\) se tiene, ver […]

Ejercicios de Vectores I

Ejercicio 1: Hallar todos los vectores perpendiculares a \(\vec{u}=(-1,2)\) con módulo \(10\) Sea \(\vec{v}=(x,y)\) el vector perpendicular a \(\vec{u}=(-1,2)\) buscado De manera que su producto escalar será cero, es decir, \(\displaystyle\vec{u}.\vec{v}=0\), ver vectores perpendiculares, \(\displaystyle\vec{u}.\vec{v}=(-1,2)(x,y)=-x+2y=0\Rightarrow x=2,\quad y=1\) Es decir, \(\vec{v_1}=(2,1)\). Otra posible solución sería \(\vec{v_2}=(2,-1)\) Para que estos vectores tengan módulo \(10\), ver módulo de […]

Ejercicios de Cónicas II

Ejercicio 5: Calcular el lugar geométrico de los puntos \(P(x,y)\) que cumplen que, la distancia de \(P\) al punto \(A(2,2)\) es igual a la distancia de \(P\) a la recta \(r: x-2=0\) Utilizando la expresión para la distancia entre dos puntos, ver distancia entre dos puntos, se tiene que \(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}\) Por otra parte, conociendo […]

Ejercicios de Cónicas I

Ejercicio 1: Calcular la recta tangente a la circunferencia \(4x^2+4y^2+x-3y-1=0\) en el punto \(P(-2,0)\) Primeramente se calcula el centro de la circunferencia, ya que de esta manera puede calcularse explícitamente un vector desde el centro de la cónica hasta el punto \(P(-2,0)\) donde se quiere hallar la tangente. Este vector será, de hecho, perpendicular a […]

Álgebra en Selectividad (Ciencias) 2014 II

Ejercicio :(Junio 2014 Opción A) (Calificación: 3 ptos) Dadas las matrices  \(A=\begin{pmatrix}\alpha &\beta&\gamma\\ \gamma& 0&\alpha\\ 1& \beta&\gamma\end{pmatrix};\) \(X=\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\); \(B=\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(O=\begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) se pide: a) (1,5 ptos) Calcula \(\alpha,\beta\) y \(\gamma\) para que \(\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}\) sea solución del sistema \(XA=B\) b) (1 pto) Si \(\beta=\gamma=1\). ¿Qué […]