Ecuaciones

Definición de Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en donde aparece, como mínimo, una incógnita. Generalmente, las ecuaciones suelen estar constituidas por polinomios igualados a cero

Valor numérico o solución de una Ecuación

La solución de una ecuación es el valor de x que hace que el polinomio que determina la ecuación valga cero. Teniendo \(P(x)=2x-4\),  la raíz de \(P(x)\) es 2, ya que \(P(2)=0\). Por tanto, encontrar soluciones de una ecuación es lo mismo que hallar raíces de un polinomio, ver la teoría sobre polinomios. Dependiendo del grado del polinomio se resolverán de una manera distinta

Ecuaciones de primer grado:

Son de la forma \(ax+b=0\), y se resuelven despejando la incógnita; es decir, dejando a un lado del igual las constantes (cambiándolas de signo en el caso de que se pasen sumando o restando al otro lado del igual) y a otro la incógnita, \(ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{a}\)

Ver Ejercicios de Ecuaciones
Ecuaciones de segundo grado:

Sea \(ax^2+bx+c=0\), las soluciones de la ecuación serán las x que cumplan:

\(\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)

Si \(b^2-4ac>0\), la ecuación tiene dos soluciones.
Si \(b^2-4ac=0\), la ecuación sólo tiene una solución doble.
Si \(b^2-4ac<0\), la ecuación no tiene solución (en los números reales).

Ecuaciones de tercer grado (o más):

Para encontrar soluciones a ecuaciones de grado superior a 2 no queda más remedio que empezar "probando". Por ejemplo:

\[x^3-2x^2-x+2=0\]


y se intenta ver si 3 es una solución. Para ello se comprueba si al sustituir \(x=3\) en la ecuación da cero, es decir:

\[(3)^3-2\cdot 3^2-3+2=27-18-3+2=8\neq 0\]


En este caso no lo es, y probamos ahora con 2:

\[(2)^3-2\cdot 2^2-2+2=8-8-2+2=0\]


Eso quiere decir que \(r=2\) es una solución.

Truco: Prueba siempre primero con los divisores del valor constante de la ecuación (el número que no está acompañado por una x) (aquí \(\pm 2\)), o con \(\pm 1\).

Una vez que se conoce una solución, se usa la Regla de Ruffini para hallar un nuevo polinomio de menor grado. Se escriben en fila los coeficientes y debajo en el lado izquierdo la solución \(r\) obtenida anteriormente y un cero, en nuestro caso:

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \quad coeficientes\;\\
2 & {} & {} & {} & {} \\
\hline
0 & {} & {} & {} & {} \quad nuevos \;coeficientes\\
\end{array}

Se multiplica cada "nuevo coeficiente" por \(r\) y se suma los coeficientes, así:

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & 0\cdot 1 & {} & {} & {} \\
\hline
0 & 1+0\cdot 1 & {} & {} & {} \\
\end{array}

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & {} & 1\cdot 2 & {} & {} \\
\hline
0 & 1 & -2+1\cdot 2 & {} & {} \\
\end{array}

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & {} & {} & 0\cdot 2 & {} \\
\hline
0 & 1 & 0 & -1+0\cdot 2 & {} \\
\end{array}

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & {} & {} & {} & -2 \\
\hline
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
\end{array}

Los valores de abajo quitando el último cero,  son los coeficientes del nuevo polinomio \(R(x)=1\cdot x^2+0\cdot x-1=x^2-1\). Las raíces de este nuevo polinomio son exactamente las soluciones que faltan por calcular para la ecuación inicial, pero ahora ya podemos calcularlas con la fórmula  \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) puesto que tenemos una ecuación de grado 2. En este caso, por tanto, las soluciones son \(-1,1,2\)

 

Ecuaciones bicuadrados

Son aquéllas ecuaciones que sólo tienen potencias pares, en general de orden \(4\) y que se resuelven con un cambio de variable \(y=x^2\)

Ejemplo: \(x^4-10x^2-9=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-10y-9=0\Rightarrow y=1, y=9\Rightarrow x=\pm 1, x=\pm 3\)

 

Igualdades notables:

Cuadrado de una suma

\(\boxed{(a+b)^2=(a+b)(a-b)=a^2+b^2+2ab}\)

Cuadrado de una diferencia

\(\boxed{(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2+b^2-2ab}\)

Diferencia de cuadrados

\(\boxed{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)