Polinomios

Definición

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables \(x\) y constantes o coeficientes \(a\)

\(\boxed{P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}\)

Ejemplo: \(P(x)=x^3+2x^2-x+4\)

Un monomio será aquél polinomio formado por un sólo elemento \(M(x)=ax^n\)

Ejemplo: \(M(x)=3x^2\)

Operaciones entre polinomios

Suma y resta

Se agrupan los términos con la misma potencia, de manera que si \(P(x)=p_1x^5+p_2x^3+p_3x+p_4\) y \(Q(x)=q_1x^5+q_2x+q_3\), entonces la suma será \(P(x)+Q(x)=(p_1+q_1)x^5+p_2x^3+(p_3+q_2)x+p_4+q_3\) y la resta \(P(x)-Q(x)=(p_1-q_1)x^5+p_2x^3+(p_3-q_2)x+p_4-q_3\)

Ejemplo: \(P(x)=3x^2+2x+5\) y \(Q(x)=2x^2+1\), entonces \(P(x)+Q(x)=5x^2+2x+6\) y \(P(x)-Q(x)=x^2+2x+4\)

Multiplicación

Se multiplican uno a uno los términos de cada polinomio, multiplicando las constantes y tratando las variables como potencias (ver cómo se multiplican potencias de la misma base) y se suman los términos resultantes (agrupando las variables con el mismo exponente)

Ejemplo: \(P(x)=3x^2+2x+5\) y \(Q(x)=2x^2+1\), entonces \(P(x)\cdot Q(x)=(3x^2+2x+5)(2x^2+1)=6x^4+3x^2+4x^3+2x+10x^2+5=6x^4+4x^3+13x^2+2x+5\)

División

- El cociente de dos monomios será otro mononio con coeficiente igual al cociente de los coeficientes de los monomios a dividir y la variable del monomio resultante será el cociente de las potencias de los monomios a dividir

Ejemplo: \(\dfrac{15x^3y^2}{5x^2y}=3xy\)

- El cociente de un polinomio y un monomio es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término del polinomio por el monomio

Ejemplo: \(\dfrac{15x^2y^3-5x^3y^2}{5xy}=\dfrac{15x^2y^3}{5xy}+\dfrac{5x^3y^2}{5xy}=3xy^2-x^2y\)

- El cociente entre dos polinomios será el resultado de dividir el primer monomio del polinomio a dividir entre el polinomio que divide, diviendo de nuevo el resto obtenido entre el polinomio divisor, y así sucesivamente

Ejemplo: \(4x^4-3x^3+x^2-2x+1:(x+5)=4x^3-23x^2+116x-582 +\dfrac{2911}{x+5}\)

 

Sacar factor común

Consiste en extraer factores comunes en todos los términos de un polinomio

Ejemplo: \(3x^2+6x=3x(x+2)\)

Raíces de Polinomios

Una raíz de un polinomio es el valor de x que hace que el polinomio valga cero. Si por ejemplo se tiene un polinomio \(P(x)=2x-4\),  la raíz de \(P(x)\) es 2, ya que \(P(2)=0\). Por tanto, hallar raíces de un polinomio es lo mismo que encontrar soluciones de una ecuación, ver teoría sobre ecuaciones. En concreto hay dos posibilidades, dependiendo del grado del polinomio.

 

Polinomios de segundo grado:

Sea \(P(x)=ax^2+bx+c\), las raíces de \(P(x)\) son las soluciones de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\), es decir

\(\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)

Si \(b^2-4ac>0\), el polinomio tiene dos raíces.
Si \(b^2-4ac=0\), el polinomio sólo tiene una raíz doble.
Si \(b^2-4ac<0\), el polinomio no tiene raíces.

Polinomios de tercer grado (o más):

Para encontrar raíces de polinomios de grado superior no queda más remedio que empezar "probando". Por ejemplo, se tiene el polinomio:

\[Q(x)=x^3-2x^2-x+2\]


y se intenta ver si 3 es una raíz. Para ello se comprueba si \(Q(3)=0\), es decir:

\[Q(x)=(3)^3-2\cdot 3^2-3+2=27-18-3+2=8\neq 0\]


En este caso no lo es, y probamos ahora con 2:

\[Q(x)=(2)^3-2\cdot 2^2-2+2=8-8-2+2=0\]


Eso quiere decir que \(r=2\) es una raíz.

Truco: Prueba siempre primero con el último número del polinomio en positivo y negativo (y sus divisores) (aquí \(\pm 2\)), o con \(\pm 1\).

Una vez que se conoce una raíz, se usa la Regla de Ruffini para hallar un nuevo polinomio de menor grado. Se escriben en fila los coeficientes de \(Q(x)\) y debajo en el lado izquierdo la raíz \(r\) obtenida anteriormente y un cero, en nuestro caso:

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \quad coeficientes\; de\; Q(x)\\
2 & {} & {} & {} & {} \\
\hline
0 & {} & {} & {} & {} \quad nuevos \;coeficientes\\
\end{array}

Se multiplica cada "nuevo coeficiente" por \(r\) y se suma los coeficientes de \(Q(x)\) así:

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & 0\cdot 1 & {} & {} & {} \\
\hline
0 & 1+0\cdot 1 & {} & {} & {} \\
\end{array}

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & {} & 1\cdot 2 & {} & {} \\
\hline
0 & 1 & -2+1\cdot 2 & {} & {} \\
\end{array}

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & {} & {} & 0\cdot 2 & {} \\
\hline
0 & 1 & 0 & -1+0\cdot 2 & {} \\
\end{array}

\begin{array}{c|cccc}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
2 & {} & {} & {} & -2 \\
\hline
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
\end{array}

Los valores de abajo quitando el último cero,  son los coeficientes del nuevo polinomio \(R(x)=1\cdot x^2+0\cdot x-1=x^2-1\). Las raíces de este nuevo polinomio son exactamente las raíces que faltan por calcular para \(Q(x)\), pero ahora ya podemos calcularlas con la fórmula  \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) puesto que tenemos un polinomio de grado 2. En este caso, por tanto, las raíces de \(Q(x)\) son \(-1,1,2\)

 

Polinomios bicuadrados

Son aquéllos polinomios que sólo tienen potencias pares, en general de orden \(4\) y que se resuelven con un cambio de variable \(y=x^2\)

Ejemplo: \(x^4-10x^2-9=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow y^2-10y-9=0\Rightarrow y=1, y=9\Rightarrow x=\pm 1, x=\pm 3\)

 

Igualdades notables:

Cuadrado de una suma

\(\boxed{(a+b)^2=(a+b)(a-b)=a^2+b^2+2ab}\)

Cuadrado de una diferencia

\(\boxed{(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2+b^2-2ab}\)

Diferencia de cuadrados

\(\boxed{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)

 

Ver ejercicios de Polinomios