\[\]Ejercicio 1: Resolver las siguientes expresiones fraccionarias y radicales
a) \(\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2-1}=\frac{19x}{12}\)
b) \(\sqrt{2x-5}+6=x+2\)
c) \(x-2\sqrt{x}=15\)
d) \(\frac{x^2-5x+4}{8-x}\)
Repasando la teoría sobre cómo operar con fracciones, sin olvidar cómo calcular el mínimo común múltiplo y cómo resolver ecuaciones de segundo grado y bicuadradas, se puede obtener el resultado
a) \(\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2-1}=\frac{19x}{12}\Rightarrow\frac{(x^2+1)12(x^2-1)}{12x(x^2-1)}+\frac{12x^2}{12x(x^2-1)}=\frac{19x(x(x^2-1))}{12x(x^2-1)}\Rightarrow\\12(x^2-1^2)+12x^2=19x(x^3-x)\Rightarrow 12x^4-12+12x^2=19x^4-19x\\Rightarrow y=x^2\Rightarrow 7y^2-31y+12=0\Rightarrow y=0,42, y=4\Rightarrow x=\pm 0,65, x=\pm2\)
b) \(\sqrt{2x-5}+6=x+2\Rightarrow (\sqrt{2x-5})^2=(x-4)^2\Rightarrow\\ 2x-5=x^2-8x+4^2\Rightarrow -x^2+10x-21=0\Rightarrow x=7,x=3\)
c) \(x-2\sqrt{x}=15\Rightarrow 4x=15^2-30x+x^2\Rightarrow -x^2+34x-225=0\Rightarrow x=25,x=9\)
d) \(\frac{x^2-5x+4}{8-x}\Rightarrow\frac{x^2-5x+4}{8-x}=\frac{5}{8-x}\Rightarrow x^2-5x+4=40-5x\Rightarrow x^2-36=0\Rightarrow x=\pm 6\)
Ejercicio 2: Resolver las siguientes expresiones fraccionarias
a) \(\frac{x-6}{5}=\frac{x-5}{4}+\frac{1-x}{6}\)
b) \(\frac{3-2x}{x}=4\)
c) \(\frac{5-(x+2)3}{x}=\frac 32\)
d) \(\frac{x-1}{x+1}=2\)
Para hacer el ejercicio es necesario repasar cómo operar con fracciones, el cómo calcular el mínimo común múltiplo y cómo resolver ecuaciones de segundo grado y bicuadradas, se puede obtener el resultado
a) \(\frac{x-6}{5}=\frac{x-5}{4}+\frac{1-x}{6}\Rightarrow\frac{12(x-6)}{60}=\frac{15(x-5)}{60}+\frac{10(1-x)}{60}\Rightarrow 12x-72=15x-75+10-10x\Rightarrow 7x=7\Rightarrow x=1\)
b) \(\frac{3-2x}{x}=4\Rightarrow\frac{3-2x}{x}=\frac{4x}{x}\Rightarrow -2x-4x=-3\Rightarrow x=\frac 12\)
c) \(\frac{5-(x+2)3}{x}=\frac 32\Rightarrow\frac{5-3x-6}{x}=\frac 32\Rightarrow -6x-3x=12-10\Rightarrow x=-\frac 29\)
d) \(\frac{x-1}{x+1}=2\Rightarrow x-1=2x+2\Rightarrow x-2x=2+1\Rightarrow x=-3\)