Tamaño muestral, \(n\)
Número de sucesos que se dan en el estudio
Media muestral de \(X\), \(\bar{x}\)
Si se saben los valores que toma \(X\), \(x_1,…,x_n\), así como la frecuencia con la que se sucede cada valor, \(f_1,…,f_n\), se puede calcular la media \(\bar{x}\),
\(\bbox[yellow]{\bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+…+x_nf_n}{f_1+f_2+…+f_n}}\)
Ejemplo: Calcular la media de
| \(x_j\) | \(1\) | \(2\) | \(4\),\(5\) |
|---|---|---|---|
| \(f_j\) | \(3\) | \(5\) | \(8\),\(4\) |
\(\bar{x}=\frac{1\cdot 3+2\cdot 5+4\cdot 8+5\cdot 4}{3+5+8+4}=\frac{65}{20}\)
Varianza, \(\sigma^2\)
Sabiendo los valores que toma \(X\): \(x_1,…,x_n\), así como la frecuencia con la que se sucede cada valor: \(f_1,…,f_n\), se puede calcular la varianza \(\sigma^2\),
\(\bbox[yellow]{\sigma ^2=\frac{x_1^2f_1+x_2^2f_2+…+x_n^2f_n}{f_1+f_2+…+f_n}-\bar{x}^2}\)
Ejemplo: Calcular la varianza de
| \(x_j\) | \(1\) | \(2\) | \(4\),\(5\) |
|---|---|---|---|
| \(f_j\) | \(3\) | \(5\) | \(8\),\(4\) |
\(\sigma^2=\frac{1^2\cdot 3+2^2\cdot 5+4^2\cdot 8+5^2\cdot 4}{3+5+8+4}-(\frac{65}{20})^2=1,98\)
Desviación típica, \(\sigma\)
Es la medida del grado de dispersión de los datos con respecto a la media; es el valor que dice cómo de lejos están estos datos de la media \(\mu\)
Cuasivarianza, \(\sigma_{n-1}^2\)
\(\bbox[yellow]{\sigma_{n-1}^2=\frac{\sigma^2.n}{n-1}}\)
Cálculo de probabilidades con la tabla de la normal
Cómo buscar en la tabla de la normal
- \(\bbox[yellow]{P(X<z)}\)Teniendo una variable \(X\) que sigue una normal \(N(0,1)\), para hallar \(P(X<z)\), se busca la parte entera y el primer número de la parte fraccionaria de \(z\) en la columna de la izquierda de la tabla de la normal y el resto de la parte fraccionaria de \(z\) en la fila de arriba de dicha tabla, el valor correspondiente a estos dos datos en la tabla será la probabilidad buscada, \(P(X<z)\)
Ejemplo: Sea \(X\) una variable que sigue una \(N(0,1)\), hallar \(P(X<0,71)\)
Se busca \(0,7\) en la columna de la izquierda de la tabla de la normal y \(0,01\) en la fila de arriba, de esta forma, se tiene el valor \(0,7611\), luego \(P(X<0,71)=0,7611\)
- \(P(x>z)\)Se debe escribir primeramente de manera que se pueda buscar directamente \(z\) en la tabla de la normal, en este caso, \(\bbox[yellow]{P(x>z)= 1-P(x<z)}\)Ejemplo: Sea \(X\) una variable que sigue una \(N(0,1)\), calcular \(P(X>1,38)=1-P(X<1,38)\), buscando \(1,3\) en la columna de la izquierda de la tabla de la normal y \(0,08\) en la fila de arriba, se tiene \(P(X>1,38)=1-0,9162=0,0838\)
- \(\bbox[yellow]{P(x<-z)=1-P(x<z)}\)
- \(\bbox[yellow]{P(x \geq -z)=P(x<z)}\)
- \(\bbox[yellow]{P(z_1<x<z_2)=P(x<z_2)-P(x<z_1)}\)
- Si la variable \(X\) sigue una normal \(N(\mu, \sigma)\) y se pide calcular \(P(X< z)\), antes de buscar en la tabla de la normal, se normaliza la variable:\[\bbox[yellow]{\hat{X}=\frac{X-\mu}{\sigma}}\]De esta manera, \(P(X<z)=P(\hat{x}<\frac{z-\mu}{\sigma})\) y se busca el valor de \(\frac{z-\mu}{\sigma}\) en la tablaEjemplo: Sea \(X\) una variable que sigue una una distribución \(N(0,1, 2)\). Calcular \(P(X<1)\)
Se normaliza la variable, \(\hat{X}=\frac{X-0,1}{2}\)
Y \(P(X<1)=P(\frac{X-0,1}{2}<\frac{1-0,1}{2})=P(\hat{X}<\frac{1-0,1}{2})=P(\hat{X}<0,45)\), buscando en la tabla de la normal, se tiene \(P(X<1)=P(\hat{X}<0,45)=0,6736\) - Si la variable \(X\) sigue una normal \(N(\mu,\sigma)\) y se toman \(n\) elementos, se debe considerar \(X\) como una variable que sigue una normal \(N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
Algunas definiciones
Nivel de confianza: \(1-\alpha\)
Nivel de significación: \(\alpha\)
Valor crítico: \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) (Explicado más abajo)
Valor que se obtiene al buscar el valor \(X_{-\frac{\alpha}{2}}\),o lo que es lo mismo, \(1-\frac{\alpha}{2}\) en la tabla de la normal, ver tabla de la normal
Intervalo confianza: \(\hbox{IC}\) , \(\hbox{IC}= (\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt n}, \bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt n})\)
Error de estimación: \(E\), \(E= \pm z_{\frac{\alpha}{2}}.\frac{\sigma}{\sqrt n}\)
Amplitud del intervalo de confianza: \(A= 2E\)
Test de hipótesis bilateral de la media
Teniendo una variable \(X\) de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\) y dada una hipótesis \(h\) la cual se pide comprobar si es rechazable o no a un nivel de significación \(\alpha\) (o nivel de confianza \(1-\alpha\))
Se escribe:
\(H_0: \mu=h\)
\(H_1: \mu\neq h\)
La zona de aceptación de la hipótesis será el \(\hbox{IC}\) correspondiente al valor crítico \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) en la tabla de la normal
Cómo buscar el valor crítico \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) en la tabla de la normal
- Se busca el valor exacto de \(1-\frac{1-\alpha}{2}\) en el interior de la tabla de la normal, el valor correspondiente a \(1-\frac{\alpha}{2}\) en la columna de la izquierda y el correspondiente en la fila de arriba de dicha tabla serán los que determinen el valor buscado, \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)Ejemplo: Sea el nivel de confianza \(95%\), hallar \(z_{\frac{\alpha}{2}}\). Como \(\alpha= 0,95\Rightarrow 1-\alpha=0,05\), y el valor a buscar será \(1-\frac{1-\alpha}{2}=1-\frac{0,05}{2}=0,975\), buscando este valor en el interior de la tabla de la normal, se obtiene \(1,9\) en la columna de la izquierda y \(0,06\) en la fila de arriba de la tabla, luego \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
- Si el valor exacto \(1-\frac{1-\alpha}{2}\) no se encuentra en el interior de la tabla, se buscará el más cercano a éste, si hubiera dos valores dentro de la tabla a la misma distancia de \(1-\frac{1-\alpha}{2}\), se hace la media entre ambos valores y dicha media será el valor crítico \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)
De forma que:
- Si \(\mu\in\hbox{IC}\), se puede aceptar la hipótesis \(h\) al nivel de significación \(\alpha\) (o al nivel de confianza de \(1-\alpha\))
- Si \(\mu\notin\hbox{IC}\), se rechaza la hipótesis \(\mu=h\) con un nivel de confianza del \(1-\alpha\) (o nivel de significación \(\alpha\))