Ejercicios de Estadística I

Ejercicio 1: Un fabricante de motores de coches sabe que el tiempo de duración, en horas, de los motores que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y varianza \(3600\). Con una muestra de su producción, elegida al azar y un nivel de confianza del \(95\)% ha obtenido para la media el intervalo e confianza \((372.6, 392.2)\)

1. Calcular el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado

2. ¿Cuál sería el error de estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño \(225\) y un nivel de confianza del \(86\)%?

1. Mirando en la tabla de la normal, ver tabla de la normal, se tiene que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\)

Para hallar el tamaño muestral y la media se utilizará el dato del intervalo de confianza que da el enunciado, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})=(372.6,392.2)\)

Como la varianza es \(3600\), \(\sigma=\sqrt{3600}=60\), por lo tanto, \(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\bar{x}-1.96\dfrac{60}{\sqrt{n}}=372.6\)

y \(\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\bar{x}+1.96\dfrac{60}{\sqrt{n}}=392.2\)

Por lo tanto, \(\boxed{\bar{x}=382.4}\) y \(\boxed{n=144}\)

2. El error de estimación se calcula con la fórmula \(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\), ver estadística, como en este caso \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.51\) para \(\alpha=86,9\)%, \(E=\boxed{\pm 6.04}\)

 

Ejercicio 2: El arroz se envasa en paquetes cuyo peso, en gramos, se comporta como una normal \(N(300,15)\). Si con dichos paquetes se forman cajas de \(100\) unidades, se pide determinar:

1. El intervalo de confianza del \(95\)% para los pesos medios de los paquetes en las cajas

2. El número de paquetes de arroz si se busca que el error cometido sea la décima parte que en el caso anterior, con un nivel de confianza del \(95\)%

1. Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la fórmula \(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\), ver estadística, de forma que es necesario saber los datos de la media, \(\bar{x}\) (dada por el enunciado), desviación típica, \(\sigma=15\) y \(z_{\frac{\alpha}{2}}\), hallado a partir del dato que da el enunciado del nivel de confianza del \(95\)%

Es decir, \(1-\alpha=1-0,95=0,005\), luego el nivel de significación \(\alpha\) es \(0,05\) y \(1-\dfrac{\alpha}{2}=0,9750\), éste será el dato a buscar

Consultando la tabla de la normal, se tiene que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

De forma que se tiene \(IC=(300-1,96\dfrac{15}{\sqrt{100}},300+1,96\dfrac{15}{\sqrt{100}})=\boxed{(297.06,302.94)}\)

2. El error de estimación se calcula con la fórmula \(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\), ver estadística

Así que para obtener el dato pedido en el enunciado es necesario despejar de la fórmula \(n\)

Primeramente es necesario calcular el error en el primer caso que propone el ejercicio, ya que el enunciado dice que el error en el segundo apartado será una décima parte del primero,

\(E^1=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\pm 1,96.\dfrac{15}{\sqrt{100}}=\pm 2,94\)

Por lo tanto el error de estimación en el segundo apartado será

\(E=\pm\dfrac{E^1}{10}=\pm 0,294=z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\dfrac{15}{\sqrt{n}}\)

Despejando \(n\) se tiene el resultado \(\boxed{n=10000}\)

 

Ejercicio 3: La duración en años de la batería de un móvil sigue una distribución normal de parámetros \(\mu=9\) y \(\sigma=1,5\). Calcular la probabilidad de que una batería dure más de \(7\) años

Por los datos del enunciado, siendo \(X\) la variable que mide la duración en años de la batería del móvil, sigue una normal de la forma \(X\equiv N(9, 1.5)\), ver estadística

El ejercicio pide hallar la probabilidad de que una batería dure más de \(7\) años, es decir, \(P(X>7)\), para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(X\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(\bar{X}=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) y

\(P(X>7)=P(\bar{X}>\dfrac{7-9}{1,5})=P(\bar{X}>-\dfrac 43)=P(\bar{X}<\dfrac 43)\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\boxed{P(X>7)=0,9082}\)

 

Ejercicio 4: En un grupo de superdotados se ha comprobado que el cociente intelectual sigue un modelo Normal de probabilidad. A partir de una muestra de \(50\) superdotados de dicho grupo se ha calculado el cociente intelectual medio de \(159\) y una cuasivarianza de \(169\)

1. Determinar el error máximo que se cometería con una confianza de \(99\)% si se estima en \(159\) el cociente intelectual medio en este grupo

2. ¿Se podría rechazar, con un nivel de significación del \(5%\) la hipótesis de que el cociente intelectual medio de ese grupo es de \(160\)?

1. Sabiendo que la cuasivarianza viene dada por, ver teoría de estadística, \(\dfrac{n}{n-1}\sigma^2\Rightarrow\sigma=\sqrt{\dfrac{169.49}{50}}=12.869\)

Mirando la tabla de la normal se tiene que para una confianza del \(99\)%\(\rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=2,575\)

Utilizando entonces la fórmula para el error de estimación, ver teoría de estadística, se tiene

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\pm 2,575\dfrac{12.869}{\sqrt{50}}=\boxed{\pm 4,686}\)

2. El test de hipótesis sería el siguiente, ver teoría de estadística,

\(H_0:\mu=160\)
\(H_1:\mu\neq 160\)

La zona de aceptación, el \(IC\) será con \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96\),

\(IC=(\mu-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\mu+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})=(160-1,96\dfrac{12.869}{\sqrt{50}},160+1,96\dfrac{12.869}{\sqrt{50}})=(156.43,163.56)\)

Como \(159\) pertenece al intervalo, \(\boxed{\hbox{no se puede rechazar}}\) la hipótesis de que el cociente intelectual medio es de \(160\) con un nivel de significación del \(5\)%

Ejercicio 5: El peso medio de una muestra aleatoria de \(50\) bebés recién nacidos es de \(350\) g. Se sabe que la desviación típica es de \(30\) g. A un nivel de significación de \(0,01\), ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación de que el peso medio es de \(360\) g?

Se trata de estudiar un test de hipótesis bilateral para la media, ver teoría de estadística;

\(H_0:\mu=360\)
\(H_1:\mu\neq 360\)

La zona de aceptación, el IC será con \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,57\),

\(IC=(360-2,57\dfrac{30}{\sqrt{50}},360+2,57\dfrac{30}{\sqrt{50}})=(349.09,370.90)\)

Como \(350\) pertenece al IC, \(\boxed{\hbox{no se puede rechazar}}\) la hipótesis de que el peso medio de los recién nacidos sea de \(360\) g con un nivel de significación del \(1\)%

 

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