Ejercicios de Integrales trigonométricas I

Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\frac 12\arcsin 2x+C}\)

Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{7+(x-3)^2}}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{7+(x-3)^2}}dx= \displaystyle\int\dfrac{1}{7(1+(\dfrac{x-3}{\sqrt{7}})^2)}dx\)

Con ayuda de la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\dfrac 17\arctan \dfrac{x-3}{\sqrt{7}}+C}\)

 

Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

Como \((\arcsin x)'\) es \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), ver tabla de derivadas
se tiene el resultado

\(\boxed{\dfrac{\arcsin ^2x}{2}+C}\)

 

Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx= \displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\frac 12\arcsin e^{x}+C}\)

 

Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx\)

La integral puede escribirse como

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}dx\)

Como \((\sqrt{x})'=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\), consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle 2\arctan \sqrt{x}+C}\)

 

 

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