\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\frac 12\arcsin 2x+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{7+(x-3)^2}}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{7+(x-3)^2}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{7(1+(\frac{x-3}{\sqrt{7}})^2)}dx\)
Con ayuda de la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\frac 17\arctan \frac{x-3}{\sqrt{7}}+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
Como \((\arcsin x)’\) es \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), ver tabla de derivadas
se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\frac{\arcsin ^2x}{2}+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx= \displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\frac 12\arcsin e^{x}+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx\)
La integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}dx\)
Como \((\sqrt{x})’=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\), consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle 2\arctan \sqrt{x}+C}\)