Ejercicios de derivadas VI

Ejercicio 12: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=(7x-3)^3\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=3(7x-3)^27=\boxed{\displaystyle 21(7x-3)^2}\)

Ejercicio 13: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{3}{x-2}\)

Reescribiendo la función en forma de potencia se tiene,

\(\displaystyle f(x)=3(x-2)^{-1}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -\frac{3}{(x-2)^2}}\)

Ejercicio 14: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sin \frac{2x}{3}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{2}{3}\cos\frac{2x}{3}}\)

Ejercicio 15: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sin\pi x\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle\pi\cos\pi x }\)

Ejercicio 16: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=2\cos\frac{x}{3}\)

Con la ayuda de la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de esta función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -\frac{2}{3}\sin\frac{x}{3}}\)

 

Ejercicio 17: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{6}\sin^3 2x\)

La función puede reescribirse como \(f(x)=\frac{1}{6}(\sin 2x)^3\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de una potencia), se tiene que la derivada de esta función es:

\( f'(x)=\frac{3}{6}(\sin 2x)^2 2\cos 2x=\boxed{\displaystyle (\sin 2x)^2\cos 2x}\)

Ejercicio 18: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=e^{\sin x}\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una exponencial y la de funciones trigonométricas), se tiene que:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \cos xe^{\sin x}}\)

Ejercicio 19: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln x^2 \)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un logaritmo), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{2x}{x^2}=\boxed{\displaystyle\frac{2}{x}}\)

Ejercicio 20: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\cos x e^{2x} \)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un producto, de funciones trigonométricas y de exponenciales), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle-\sin xe^{2x}+2e^{2x}\cos x}\)

Ejercicio 21: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=(x^2-3)\cos x\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un producto, de funciones trigonométricas y de potencias), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle 2x\cos x-(\sin x)(x^2-3)}\)

Ejercicio 22: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}(\ln(3x+2))\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un producto y la derivada de un logaritmo), se tiene que la derivada de la función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}(\ln(3x+2))+\frac{\sqrt{x}3}{3x+2}}\)

 

Ejercicio 23: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln (\frac{x}{1+x^2})\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente y la derivada de un logaritmo), se tiene que:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2}}{\frac{x}{1+x^2}}=\boxed{\displaystyle \frac{x(1+x^2)-2x^3}{x(1+x^2)}}\)

Ejercicio 24: Dadas las funciones \(f(x)=x^2+3\) y \(g(x)=\ln x\), escribir la función \(g\; o\; f\) y calcular su derivada

La composición de las dos funciones, \(g o f\) es (ver cómo se hace la composición de dos funciones):

\(g\; o\; f(x)=g(f(x))=g(x^2+3)=\ln (x^2+3)\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (mirando la derivada de un logaritmo), se tiene que la derivada de la composición es:

\( (g\; o\; f)'(x)=\boxed{\displaystyle\frac{2x}{x^2+3}}\)

Ejercicio 25: Dadas las funciones \(f(x)=e^{x}\) y \(g(x)=\cos x^2\), escribir la función \(g\; o\; f\) y calcular su derivada

La composición de las dos funciones, \(g\; o\; f\) es (ver cómo se hace la composición de dos funciones):

\(g\; o\; f(x)=g(f(x))=g(e^{x})=\cos e^{2x}\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de la exponencial y de las funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de la composición es:

\((g\; o\; f)'(x)=\boxed{\displaystyle -2e^{2x}\sin e^{2x}}\)

 

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