Ejercicios de sistemas de ecuaciones III

Ejercicio 1: Resolver los siguientes sistemas por el método de sustitución

a) \(\displaystyle\begin{cases}2x+y=&4\\3(x-1)-5y=&1-3x\\\end{cases}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}2x-4y=&9\\x-2y=&7\\\end{cases}\)

c) \(\displaystyle\begin{cases}x+2y=&5\\4x+2y=&14\\\end{cases}\)

El método de sustitución consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra expresión, consultar la teoría de sistemas de ecuaciones

a) \(\displaystyle\begin{cases}2x+y=&4\\3(x-1)-5y=&1-3x\\\end{cases}\)

Despejando la variable \(y\) de la primera ecuación del sistema, se tiene \(y=4-2x\)

Incluyendo este resultado en la segunda ecuación,

\(3(4-2x-1)-5(4-2x)=1-3x\Rightarrow 6x-20+10x=4\Rightarrow 16x=24\Rightarrow x=\dfrac{24}{16}=\dfrac 32\)

Por lo tanto se tiene el resultado \(\boxed{x=\dfrac 32, y=1}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}2x-4y=&9\\x-2y=&7\\\end{cases}\)

Despejando la \(x\) en la segunda ecuación se obtiene \(x=7+2y\)

Por lo tanto, incluyendo el despeje en la primera ecuación, \(2x-4y=9\Rightarrow 2(7+2y)-4y=9\Rightarrow 14=9\Rightarrow \boxed{\hbox{El sistema no tiene solucin}}\)

c) \(\displaystyle\begin{cases}x+2y=&5\\4x+2y=&14\\\end{cases}\)

Despejando la \(x\) de la primera ecuación, \(x=8-5y\)

En la segunda ecuación quedaría

\(5y-2(8-5y)=6\Rightarrow 5y-16+10y=6\Rightarrow 15y=22\Rightarrow y=\dfrac{22}{15}\)

Por lo tanto, \(x=8-5(\dfrac{22}{15}=\dfrac 23)\), siendo el resultado \(\boxed{x=\dfrac 23, y=\dfrac{22}{15}}\)

 

Ejercicio 2: Resolver los siguientes sistemas por el método de igualación

a) \(\displaystyle\begin{cases}x+3y=&2\\3x+10y=&5\\\end{cases}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}x+y=&1\\5x-3y=&3\\\end{cases}\)

c) \(\displaystyle\begin{cases}2x-y=&3\\3x+2(y-1)=&4(1+y)-x\\\end{cases}\)

El método de igualación consiste en despejar una de las variables en ambas ecuaciones e igualar ambas expresiones, repasar la teoría de sistemas de ecuaciones

a) \(\displaystyle\begin{cases}x+3y=&2\\3x+10y=&5\\\end{cases}\)

Despejando la variable \(x\) de ambas ecuaciones, se tiene \(x=2-3y\) y \(3x=5-10y\Rightarrow x=\dfrac{5-10y}{3}\)

De manera que igualando ambas expresiones, se obtiene \(2-3y=\dfrac{5-10y}{3}\Rightarrow 6-9y=5-10y\Rightarrow y=-1\)

Sustituyendo el valor de \(y\) en cualquiera de los despejes realizados, se tiene el resultado \(\boxed{x=5, y=-1}\)

b) \(\displaystyle\begin{cases}x+y=&1\\5x-3y=&3\\\end{cases}\)

Despejando la \(x\) en ambas ecuaciones, se obtiene \(x=1-y\) y \(5x=3+3y\Rightarrow x=\dfrac{3+3y}{5}\)

Por lo tanto,
\(1-y=\dfrac{3+3y}{5}\Rightarrow 5-5y=3+3y\Rightarrow -8y=-2\Rightarrow y=\dfrac 28\Rightarrow y=\dfrac 14\)

De esta forma, despejando se tiene el resultado final \(x=\boxed{\dfrac 34, \dfrac 14}\)

c) \(\displaystyle\begin{cases}2x-y=&3\\3x+2(y-1)=&4(1+y)-x\\\end{cases}\)

Despejando \(x\) de ambas ecuaciones, \(2x-y=3\Rightarrow 2x=3+y\Rightarrow x=\dfrac{3+y}{2}\) y \(3x+2y-2=4+4y-x\Rightarrow 4x-2y=6\Rightarrow x=\dfrac{6+2y}{4}\)

De esta manera, \(\dfrac{3+y}{2}=\dfrac{6+2y}{4}\Rightarrow 4(3+y)=2(6+2y)\Rightarrow 0=0\Rightarrow\boxed{\hbox{El sistema tiene infinitas soluciones}}\)

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