Definición
Un sistema de ecuaciones tiene la forma:
\(\displaystyle\begin{cases}ax+by+cz=&d\\\ ex+fy+gz=&h\\\ ix+jy+kz=&l\\\end{cases}\)
Forma matricial
El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial:
\[\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\]
Con \(A=\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\), el problema a resolver será la ecuación \(AX=B\)
Multiplicando por la inversa de \(A\) a ambos lados de la ecuación, ver cómo multiplicar matrices y cómo calcular inversas, se tiene
\(A^{-1}.A.X=A^{-1}.B\Rightarrow \) \(\bbox[yellow]{X=A^{-1}.B}\)
Resolución para sistemas de \(2\) incógnitas
– Por el método de Sustitución
- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
- Se sustituye la expresión obtenida en el despeje en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sóla incógnita
- Se resuelve la ecuación, ver cómo se resuelven polinomios
- El valor obtenido se sustituye en el despeje de la primera incógnita
Ejemplo: \(\begin{cases}x-6y=&0\\2x-y=&11\\\end{cases}\Rightarrow x=6y\Rightarrow 2.(6y)-y=11\Rightarrow y=1\Rightarrow x=6.1=6\Rightarrow x=6,\;y=1\)
– Por el método de Igualación
- Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema
- Se igualan las expresiones obtenidas en el despeje, obteniendo una ecuación con una incógnita
- Se resuelve dicha ecuación, ver cómo se resuelven polinomios
- El valor obtenido se sustituye en una de las dos expresiones que se han obtenido en el despeje
Ejemplo: \(\begin{cases}x-6y=&0\\2x-y=&11\\\end{cases}\Rightarrow x=6y,\;x=\frac{11+y}{2}\Rightarrow 6y=\frac{11+y}{2}\Rightarrow 12y=11+y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=6.1=6\Rightarrow x=6,\;y=1\)
– Por el método de Reducción
- Se multiplica una de las ecuaciones por una constante de manera que al restarla o sumarla a la otra ecuación una de las dos incógnitas desaparezca
- Se resuelve la ecuación resultante tras hacer desaparecer una de las incógnitas, ver cómo se resuelven polinomios
- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales del sistema y se resuelve obteniendo la segunda incógnita
Ejemplo: \(\begin{cases}x-6y=&0\\2x-y=&11\\\end{cases}\hbox{multiplicando la primera ec. por }2\hbox{ y restando el resultado a la segunda}\Rightarrow 0.x+11y=11\Rightarrow y=1\Rightarrow x-6.(1)=0\Rightarrow x=6\Rightarrow x=6,\;y=1\)
Resolución para sistemas de \(3\) incógnitas
– Método de Gauss: Convertir el sistema en otro escalonado equivalente y despejar las incógnitas sucesivamente del sistema obtenido
– Método de Cramer: Para aplicar este método, el sistema tiene que ser compatible determinado (ver la explicación más abajo). Partiendo de la expresión matricial del sistema, se tiene
\[\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\]
con \(A=\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\) La solución del sistema será \((\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})\), con :
- \(|A|\): determinante de \(A\)
- \(|A_i|\): los determinantes de la matriz \(A\) con la columna \(i\) sustituida por la matriz columna \(B\), ver cómo se calculan determinantes
Ejemplo:\(\displaystyle\begin{cases}x-3y+5z=&-24\\2x-y+4z=&-8 \\x+y=&9 \\\end{cases}\Rightarrow |A|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & 5 \\2 & -1 & 4\\1 & 1 &0\end{array}=-1\neq 0\)
Y \(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-24 & -3 & 5 \\-8 & -1 & 4\\9 & 1 &0\end{array}=-7,\qquad\)\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -24 & 5 \\2 & -8 & 4\\1 & 9 &0\end{array}=-2,\qquad\)\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & -24 \\2 & -1 & -8\\1 & 1 &9\end{array}=5\)
Por lo tanto, \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=(7,2,-5)\)
Resolución para sistemas de ecuaciones no lineales
- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
- Se sustituye el valor del despeje en la otra ecuación
- Se resuelve la ecuación resultante
- Los valores obtenidos se sustituyen en la otra ecuación, obteniendo así los valores para la otra incógnita
Ejemplo:\(\begin{cases}x^2+y^2=&10\\x+y=&2\\\end{cases}\Rightarrow x=2-y\Rightarrow (2-y)^2+y^2=10\Rightarrow 2y^2-4y-6=0\Rightarrow y=-1,\;y=3\Rightarrow x=-1,\;x=3\)
Estudio de compatibilidad del sistema (Teorema de Rouché- Frobenius)
Escribiendo el sistema de manera matricial se tiene la matriz asociada al sistema, \(A\), y la matriz ampliada, \(\bar{A}\) que es la matriz asociada con una columna más; la columna de los términos independientes de cada ecuación del sistema
A=\(\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\) y \(\bar{A}=\begin{pmatrix}a &b &c&d\\ e& f& g&h\\i&j&k&l\end{pmatrix}\)
Estudiando Rangos de \(A\) y de \(\bar{A}\) se tiene, ver cómo calcular el rango de una matriz
- Si Rango \(A=\) Rango \(\bar{A}=n=\) número de variables \(\Rightarrow\) el sistema es compatible determinado \(\Rightarrow\) tiene una sóla solución
- Si Rango \(A=\) Rango \(\bar{A}=n\neq\) número de variables \(\Rightarrow\) el sistema es compatible indeterminado \(\Rightarrow\) tiene infinitas soluciones
- Si Rango \(A\neq\) Rango \(\bar{A}\) \(\Rightarrow\) el sistema es incompatible \(\Rightarrow\) no tiene solución