Sistemas de ecuaciones

Definición

Un sistema de ecuaciones tiene la forma:

\(\displaystyle\begin{cases}ax+by+cz=&d\\\ ex+fy+gz=&h\\\ ix+jy+kz=&l\\\end{cases}\)

Forma matricial

El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial:

\[\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\]

Con \(A=\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\), el problema a resolver será la ecuación \(AX=B\)

Multiplicando por la inversa de \(A\) a ambos lados de la ecuación, ver cómo multiplicar matrices y cómo calcular inversas, se tiene

\(A^{-1}.A.X=A^{-1}.B\Rightarrow \) \(\boxed{X=A^{-1}.B}\)

Resolución para sistemas de \(2\) incógnitas

- Por el método de Sustitución

  • Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
  • Se sustituye la expresión obtenida en el despeje en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sóla incógnita
  • Se resuelve la ecuación, ver cómo se resuelven polinomios
  • El valor obtenido se sustituye en el despeje de la primera incógnita

Ejemplo: \(\begin{cases}x-6y=&0\\2x-y=&11\\\end{cases}\Rightarrow x=6y\Rightarrow 2.(6y)-y=11\Rightarrow y=1\Rightarrow x=6.1=6\Rightarrow x=6,\;y=1\)

- Por el método de Igualación

  • Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema
  • Se igualan las expresiones obtenidas en el despeje, obteniendo una ecuación con una incógnita
  • Se resuelve dicha ecuación, ver cómo se resuelven polinomios
  • El valor obtenido se sustituye en una de las dos expresiones que se han obtenido en el despeje

Ejemplo: \(\begin{cases}x-6y=&0\\2x-y=&11\\\end{cases}\Rightarrow x=6y,\;x=\dfrac{11+y}{2}\Rightarrow 6y=\dfrac{11+y}{2}\Rightarrow 12y=11+y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=6.1=6\Rightarrow x=6,\;y=1\)

- Por el método de Reducción

  • Se multiplica una de las ecuaciones por una constante de manera que al restarla o sumarla a la otra ecuación una de las dos incógnitas desaparezca
  • Se resuelve la ecuación resultante tras hacer desaparecer una de las incógnitas, ver cómo se resuelven polinomios
  • El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales del sistema y se resuelve obteniendo la segunda incógnita

Ejemplo: \(\begin{cases}x-6y=&0\\2x-y=&11\\\end{cases}\hbox{multiplicando la primera ec. por }2\hbox{ y restando el resultado a la segunda}\Rightarrow 0.x+11y=11\Rightarrow y=1\Rightarrow x-6.(1)=0\Rightarrow x=6\Rightarrow x=6,\;y=1\)

Resolución para sistemas de \(3\) incógnitas

- Método de Gauss: Convertir el sistema en otro escalonado equivalente y despejar las incógnitas sucesivamente del sistema obtenido

- Método de Cramer: Para aplicar este método, el sistema tiene que ser compatible determinado (ver la explicación más abajo). Partiendo de la expresión matricial del sistema, se tiene

\[\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\]

con \(A=\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}d\\h\\l\end{pmatrix}\) La solución del sistema será \((\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|},\dfrac{|A_z|}{|A|})\), con :

  • \(|A|\): determinante de \(A\)
  • \(|A_i|\): los determinantes de la matriz \(A\) con la columna \(i\) sustituida por la matriz columna \(B\), ver cómo se calculan determinantes

Ejemplo:\(\displaystyle\begin{cases}x-3y+5z=&-24\\2x-y+4z=&-8 \\x+y=&9 \\\end{cases}\Rightarrow |A|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & 5 \\2 & -1 & 4\\1 & 1 &0\end{array}=-1\neq 0\)

Y \(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-24 & -3 & 5 \\-8 & -1 & 4\\9 & 1 &0\end{array}=-7,\qquad\)\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -24 & 5 \\2 & -8 & 4\\1 & 9 &0\end{array}=-2,\qquad\)\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & -3 & -24 \\2 & -1 & -8\\1 & 1 &9\end{array}=5\)

Por lo tanto, \((x,y,z)=(\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|},\dfrac{|A_z|}{|A|})=(7,2,-5)\)

Resolución para sistemas de ecuaciones no lineales

  • Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
  • Se sustituye el valor del despeje en la otra ecuación
  • Se resuelve la ecuación resultante
  • Los valores obtenidos se sustituyen en la otra ecuación, obteniendo así los valores para la otra incógnita

Ejemplo:\(\begin{cases}x^2+y^2=&10\\x+y=&2\\\end{cases}\Rightarrow x=2-y\Rightarrow (2-y)^2+y^2=10\Rightarrow 2y^2-4y-6=0\Rightarrow y=-1,\;y=3\Rightarrow x=-1,\;x=3\)

Estudio de compatibilidad del sistema (Teorema de Rouché- Frobenius)

Escribiendo el sistema de manera matricial se tiene la matriz asociada al sistema, \(A\), y la matriz ampliada, \(\bar{A}\) que es la matriz asociada con una columna más; la columna de los términos independientes de cada ecuación del sistema

A=\(\begin{pmatrix}a &b &c\\ e& f& g\\i&j&k\end{pmatrix}\) y \(\bar{A}=\begin{pmatrix}a &b &c&d\\ e& f& g&h\\i&j&k&l\end{pmatrix}\)

Estudiando Rangos de \(A\) y de \(\bar{A}\) se tiene, ver cómo calcular el rango de una matriz

  • Si Rango \(A=\) Rango \(\bar{A}=n=\) número de variables \(\Rightarrow\) el sistema es compatible determinado \(\Rightarrow\) tiene una sóla solución
  • Si Rango \(A=\) Rango \(\bar{A}=n\neq\) número de variables \(\Rightarrow\) el sistema es compatible indeterminado \(\Rightarrow\) tiene infinitas soluciones
  • Si Rango \(A\neq\) Rango \(\bar{A}\) \(\Rightarrow\) el sistema es incompatible \(\Rightarrow\) no tiene solución

 

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