Áreas y perímetros

Paralelogramo

  • Los lados de un paralelogramo son paralelos dos a dos
  • Teniendo vértices A, B y C de un paralelogramo, cómo encontrar el cuarto vértice D: Como los lados son iguales dos a dos:

\(\vec{AB}=\vec{CD}\), es decir, \((b_1-a_1, b_2-a_2)=(d_1-c_1, d_2-c_2)\)
por lo que las coordenadas de \(D\) serán \(d_1= b_1-a_1+c_1\) y \(d_2= b_2-c_2+a_2\)

  • Área de un paralelogramo: si los vectores que forman un paralelogramo son \(\vec{AB}\) y \(\vec{BC}\) (recordar que los lados son paralelos dos a dos, luego con dos de ellos se tienen los otros dos), el área será:

                \(|\vec{AB}\times\vec{BC}|\)

ver cómo calcular un producto escalar y el módulo de un vector

  • Tipos de paralelogramos (clasificación):

- Si todos los lados del paralelogramo son iguales (miden lo mismo, su módulo es igual, ver cómo calcular módulos de vectores), la figura puede ser un rombo o un cuadrado. Para saber cuál de las dos es, basta con comprobar cualquiera de los ángulos del paralelogramo (ver cómo calcular un ángulo entre dos vectores), si el ángulo es igual a 90 grados es un cuadrado, en caso contrario se trata de un rombo

- Si los lados no son iguales, hay que comprobar si es un rectángulo, para ello se comprueba si el ángulo entre dos de los vectores es de 90 grados, ver cómo calcular un ángulo entre dos vectores.

Paralelepípedo

  • Las bases de un paralelepípedo son paralelogramos, luego para calcular el área de la base de un paralelepípedo, basta calcular el área formada por el paralelogramo de su base
  • El volumen de un paralelepípedo viene dado por \(\hbox{base}\times\hbox{altura}\), luego se tomarán los vectores que forman la base del paralelepípedo (como la base es un paralelogramo, los lados son iguales dos a dos, se toman los dos vectores que son diferentes entre sí) y el vector que une una base del paralelepípedo con la otra y se calcula el producto mixto, ver cómo se calcula el producto mixto
  • El volumen de un tetraedro es \(V=\dfrac 16. \vec{a}.\vec{b}\times\vec{c}\)

con \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) los vectores que unen los vértices de dicho tetraedro

Triángulos

  • Mediatriz: recta que pasa por la mitad del segmento que une dos vértices de un triángulo. Mediatriz entre \(A\) y \(B\):

                \(\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}=\sqrt{(x-b_1)^2+(x-b_2)^2}\)

  • Circuncentro: punto intersección de las tres mediatrices de un triángulo
  • Circunferencia circunscrita en triángulo: La distancia del circuncentro \((x0,y0)\) a uno de los vértices del triángulo es el radio, \(r\), de la circunferencia y la ecuación se expresa como:

               \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\)

  • Perímetro de un triángulo: \(p=a+b+c\) , con (\(a\), \(b\) y \(c\) los lados del triángulo)
  • Superficie triángulo: Sea \(p\) el perímetro del triángulo, entonces la superficie será

                  \(S: \sqrt{\frac p2(\frac p2-a)(\frac p2-b)(\frac p2-c)}\)

  • Área triángulo: \(A=\dfrac{b.h}{2}\), con \(b\) la base y \(h\) la altura
  • Altura triángulo isósceles: como el área de un triángulo es \(\dfrac{b.h}{2}\), si se divide el triángulo isósceles por su altura \(h\), se obtendrán dos triángulos rectángulos. Llamando \(y\) a los catetos del triángulo inicial: \(h\) sería el segundo cateto de ambos triángulos rectángulos resultantes (el otro cateto sería \(\dfrac b2\)), de forma que \(y\) sería la hipotenusa, y se escribe como \(h= \sqrt{y^2-\dfrac{x^2}{4}}\)
  • Trigonometría en triángulos:

- Teorema de Pitágoras: Sea \(h\) la hipotenusa de un triángulo rectángulo y \(a\) y \(b\) sus catetos, entonces \(\boxed{h^2=a^2+b^2}\)

- La suma de todos los ángulos de un triángulo es \(180\) grados

- \(\boxed{\sin\alpha= \dfrac{a}{h}}\), con \(a\) el cateto opuesto al ángulo \(\alpha\)
- \(\boxed{\cos\alpha=\dfrac{b}{h}}\), con \(b\) el cateto contiguo al ángulo \(\alpha\)

- Teorema del seno:

Sea \(A\) un vértice del triángulo y \(a\) el lado que está en frente de dicho vértice (el único lado no  contiguo a \(A\))
Sea por otra parte \(B\) otro vértice y \(b\) el lado opuesto a dicho vértices, entonces se cumple:

                    \(\boxed{\dfrac{b}{sen B}=\dfrac{a}{sen A}}\)

- Sean \(a, b, c\) los lados de un triángulo y \(A\) el vértice enfrentado al lado \(a\), entonces: \(\boxed{a^2=b^2+c^2-2.b.c.\cos A}\)

Rectángulo

  • Área rectángulo: Sean \(x\) e \(y\) las longitudes de los lados de un rectángulo, el área viene dada por \(A=x.y\)
  • Perímetro rectángulo:Sean \(x\) e \(y\) las longitudes de los lados de un rectángulo, el perímetro viene dado por \(P= 2x+2y\)

(Si \(x= y\) se tiene un cuadrado)

Cilindro

  • Volumen cilindro: \(V=\pi.r^2.h\), siendo \(r\) el radio y \(h\) la altura
  • Superficie lateral cilindro: \(S_l=2\pi .r. h\)
  • Superficie de la base de un cilindro: (de la base de arriba o de la de abajo), \(S_b=\pi r^2\)

Sólido de revolución

  • El volumen de revolución al hacer girar el área bajo la curva \(f(x)\) en el intervalo \([a,b]\) alrededor del eje \(OX\) viene dado por la expresión,

                    \(\boxed{V=\displaystyle\int_a^{b}\pi(f(x))^2dx}\)

ver cómo se resuelven integrales y tabla de integrales