Propiedades de los vectores

Definición

Un vector es un segmento orientado en el espacio

Módulo de un vector

Es la longitud o el tamaño del vector y viene determinado por \(|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\), con \(\vec{v}=(v_1,v_2)\)

Ejemplo:
Sea \(\vec{v}=(1,3)\Rightarrow |v|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)

Cómo calcular un vector entre dos puntos dados

Dados los puntos \((A_1,A_2)\) y \((B_1,B_2)\), \(\vec{AB}= (B_1-A_1,B_2-A_2)\)

Ejemplo:
Dados \(A(1,2)\) y \(B(0,3)\), \(\vec{AB}=(0-1, 3-2)=(-1,1)\)

Operaciones con vectores

Suma: Se suma coordenada a coordenada, \(\vec{v}+\vec{u}=(v_{1}+u_1, v_2+v_2)\)

Ejemplo:
\((1,2)+(0,1)=(1, 3)\)

Resta: Se resta coordenada a coordenada, \(\vec{v}-\vec{u}=(v_{1}-u_1, v_2-v_2)\)

Ejemplo:
\((1,2)-(0,1)=(1, 1)\)

Se cumple además:

Tipo Propiedades
Asociativa \(\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w} ) = (\vec{u} + \vec{v} ) + \vec{w}\)
Conmutativa \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
Elemento neutro \(\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}\)
Inverso \(\vec{v}+\vec{-v}=0\)

Producto escalar

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=|u|\cdot|v|\cdot\cos\alpha\), con \(\alpha\) el ángulo que forman \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\)

Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son perpendiculares, el producto escalar será \(0\) (ya que \(\cos \frac{\pi}{2}\) es cero, ver expresiones trigonométricas)

La expresión analítica del producto escalar es \(\vec{v}\cdot\vec{u}=(u_1\cdot v_1, u_2\cdot v_2)\)

Ejemplo:
\((1,2)\cdot(0,1)=(0, 2)\)

nota: De esta forma, para obtener el ángulo formado por dos vectores se despeja \(alpha\) de la expresión anterior:
\(\cos\alpha=\dfrac{\vec{v}.\vec{u}}{|v|\cdot|u|}\)

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es un vector que será perpendicular a estos dos vectores dados

\(\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}\)

y \(|\vec{w}|=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha\), con \(\alpha\) el ángulo que forman \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\)

\(\vec{u}\times\vec{v}\) se calcula resolviendo el siguiente determinante, ver cómo resolver determinantes

\(\vec{u}\times\vec{v}=\begin{array}{|crl|}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\) \(= \begin{array}{|crl|}u_2 & u_3 \\v_2 & v_3\end{array}\vec{i}-\begin{array}{|crl|}u_1 & u_3 \\v_1 & v_3\end{array}\vec{j}+\begin{array}{|crl|}u_1 & u_2 \\v_1 & v_2\end{array}\vec{k}\)

Ejemplo:
\((1,2,0)\times (0,1,-1)=\begin{array}{|crl|}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1& 2& 0\\ 0& 1& -1\end{array}= \begin{array}{|crl|}2 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\vec{i}-\begin{array}{|crl|}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\vec{j}+\begin{array}{|crl|}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\vec{k}=-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\)

Producto mixto

El producto mixto entre tres vectores será el producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos, \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\)

Se calcula resolviendo el determinante formado por los tres vectores dados, ver cómo resolver determinantes:

\(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\begin{array}{|crl|}u_1& u_2 & u_3 \\ v_1& v_2& v_3\\ w_1& w_2& w_3\end{array}\)

Una de las aplicaciones del producto mixto es calcular el volumen de un tetraedro, ver cómo calcular el volumen de un tetraedro

 

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