\[\] Ejercicio 3: Resolver siempre que sea posible las siguientes ecuaciones de segundo grado y bicuadradas
a) \(2x^2+9x-5=0\)
b) \(3x^2-15=0\)
c) \(3x^2-7x=0\)
d) \((x-2)^2-\frac{3x}{2}=1-x^2\)
e) \(x(x+2)=-25-8x\)
f) \(9x^4-40x^2+16=0\)
g) \(x^6-9x^3+8=0\)
Consultar la teoría sobre cómo resolver ecuaciones de segundo grado
a) \(2x^2+9x-5=0\Rightarrow x=\frac{-9\pm\sqrt{81-4\cdot 2\cdot (-5)}}{2\cdot 2}=\frac{-9\pm\sqrt{121}}{4}=\frac{-9\pm 11}{4}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\frac 12, x=-5}\)
b) \(3x^2-15=0\Rightarrow x^2=\frac{15}{3}=5\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm\sqrt{5}}\)
c) \(3x^2-7x=0\Rightarrow x(3x-7)=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0,x=\frac 73}\)
d) \((x-2)^2-\frac{3x}{2}=1-x^2\Rightarrow\frac{2(x-2)^2}{2}-\frac{3x}{2}=\frac{2(1-x^2)}{2}\Rightarrow 2(x^2+4-4x)-3x=2-2x^2\Rightarrow 2x^2+2x^2-8x-3x=2-8\Rightarrow 4x^2-11x=-6\Rightarrow 4x^2-11x+6=0\Rightarrow x=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{8}=\frac{11\pm\sqrt{25}}{8}=\frac{11\pm 5}{8}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=2,x=\frac 34}\)
e) \(x(x+2)=-25-8x\Rightarrow x^2+2x=-25-8x\Rightarrow x^2+10x+25=0\Rightarrow x=\frac{-10\pm\sqrt{100-100}}{2}=\frac{-10\pm 0}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=-5}\)
f) \(9x^4-40x^2+16=0\Rightarrow y=x^2\Rightarrow 9y^2-40y+16=0\Rightarrow y=\frac{40\pm\sqrt{1600-4\cdot 9\cdot 16}}{2\cdot 9}=\frac{40\pm\sqrt{1600-576}}{18}=\frac{40\pm\sqrt{1024}}{18}\Rightarrow y=4, y=\frac 49\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\pm 2, x=\pm\frac 23}\)
g) \(x^6-9x^3+8=0\Rightarrow y=x^3\Rightarrow y^2-9y+8=0\Rightarrow y=\frac{9\pm\sqrt{81-32}}{2}=\frac{9\pm\sqrt{49}}{2}\Rightarrow y=8, y=1\Rightarrow x=\sqrt[3]{8}, x=\sqrt[3]{1}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=2,x=1}\)