Ejercicios de Sistemas de ecuaciones VIII

Ejercicio 1: Expresar en forma matricial y resolver el siguiente sistema \(\displaystyle\begin{cases}x-2y+z=&0\\2x+y-2z=&1 \\x-y+z=&-1 \\\end{cases}\)

Expresando el sistema de manera matricial, ver cómo escribir sistemas en forma de matrices, se tiene

\(\begin{pmatrix}1 &-2&1\\ 2&1&-2\\ 1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\)

Llamando \(A\) a la matriz \(3\times 3\), \(X\) a \(\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\) y \(B\) a \(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\), se tiene la ecuación \(AX=B\)

Multiplicando a ambos lados del igual por la inversa de \(A\), \(A^{-1}\) (para poder despejar la incógnita \(X\)), ver cómo operar con matrices, se obtiene

\(A^{-1}AX=A^{-1}B\)

Sabiendo que \(A^{-1}A=I\), se concluye que \(X=A^{-1}B\)

De forma que para resolver el sistema es necesario calcular \(A^{-1}\) primeramente, ver cómo calcular la inversa de una matriz y cómo resolver determinantes,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & -2 & 1 \\2 & 1 & -2\\1 & -1 &1\end{array}\)\(=4\)

La matriz de adjuntos de la matriz traspuesta de \(A\) será

\(Adj(A^T)=\begin{pmatrix}-1 &1&3\\ -4&0&4\\ -3&-1&5\end{pmatrix}\)

De manera que, utilizando la fórmula \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A^T)}{|A|}\), se tiene

\(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4} &\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\ -1&0&1\\ -\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\end{pmatrix}\)

Y, por lo tanto la ecuación a resolver será,

\(X=\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4} &\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\ -1&0&1\\ -\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\)

Multiplicando las matrices, ver cómo operar con matrices, se obtiene el resultado final \(\boxed{X=\begin{pmatrix}-\frac 12\\ -1\\ -\frac 32\end{pmatrix}}\)

 

Ejercicio 2: Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones

\(\displaystyle\begin{cases}x-2y+3z=&0\\y+z=&0 \\x-3y+2z=&0\\-x+5y=&0 \\\end{cases}\)

Para estudiar la compatibilidad del sistema se estudia el rango de la matriz asociada al sistema y de la matriz ampliada, ver cómo se estudian los sistemas de ecuaciones y cómo resolver determinantes,

\(A=\begin{pmatrix}1 &-2&3\\ 0&1&1\\ 1&-3&2\\ -1&5&0\end{pmatrix}\;\) y \(\;\bar{A}=\begin{pmatrix}1 &-2&3&0\\ 0&1&1&0\\ 1&-3&2&0\\ -1&5&0&0\end{pmatrix}\)

Se estudia el determinante de \(A\): Observando todos los menores \(3\times 3\) posibles de \(A\), se tiene, ver cómo resolver determinantes,

\(\begin{array}{|crl|}1 &-2&3\\ 0&1&1\\ 1&-3&2\end{array}=\begin{array}{|crl|}1 &-2&3\\ 0&1&1\\ -1&5&0\end{array}=\begin{array}{|crl|}1 &-2&3\\ 1&-3&2\\ -1&5&0\end{array}=\begin{array}{|crl|}0 &1&1\\ 1&-3&2\\ -1&5&0\end{array}=0\)

Por otra parte, el menor \(\begin{array}{|crl|}1 & -2 \\0 & 1\end{array}=1\neq 0\), por lo que el Rango de \(A\) será dos

Como \(\bar{A}\) es igual a \(A\) salvo por una columna de ceros, \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2<\hbox{n. variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado}}\)

Para resolverse, se despeja la variable \(z\) de la segunda ecuación, \(y=-z\) y se sustituye en la primera \(x=-3z+2y=-5z\)

Luego, dando a \(z\) el valor \(\lambda\), se tiene que la solución al sistema es \(\boxed{x=-5\lambda,\; y=-\lambda,\; z=\lambda}\)

Ejercicio 3: Resolver el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer \(\displaystyle\begin{cases}x+3y+2z=&-1\\4x-y=&5 \\y+z=&6 \\\end{cases}\)

Para aplicar la Regla de Cramer primero se comprueba que el sistema es compatible determinado (se comprueba que hay solución del sistema), ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A|=\begin{array}{|crl|}1 & 3 & 2 \\4 & -1 & 0\\0 & 1 &1\end{array}=-5\neq 0\)

Luego, \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\hbox{el sistema es compatible determinado}\)

Para calcular su solución usando la Regla de Cramer se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer y cómo resolver determinantes,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-1 & 3 & 2 \\5 & -1 & 0\\6 & 1 &1\end{array}=8\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}1 & -1 & 2 \\4 & 5 & 0\\0 & 6 &1\end{array}=56\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}1 & 3 & -1 \\4 & -1 & 5\\0 & 1 &6\end{array}=-87\)

Por lo que el resultado quedará \((x,y,z)=(\dfrac{|A_x|}{|A|},\dfrac{|A_y|}{|A|},\dfrac{|A_z|}{|A|})=\boxed{(-\dfrac{8}{5},-\dfrac{56}{5},\dfrac{87}{5})}\)

Ejercicio 4: Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones \(\displaystyle\begin{cases}x-y-z=&0\\x+y+3z=&0 \\x-5y-9z=&0 \\\end{cases}\)

Como el sistema es homogéneo, se considera únicamente la matriz asociada al sistema de ecuaciones

\(A=\begin{pmatrix}1 &-1&-1\\ 1&1&3\\ 1&-5&-9\end{pmatrix}\)

Calculando el determinante de la matriz \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(|A|=0\)

Por otra parte, es posible encontrar un menor \(2\times 2\) en la matriz tal que
\(\begin{array}{|crl|}1 &-1\\ 1&1\end{array}=2\neq 0\)

De manera que, consultando el estudio sobre los rangos de las matrices, se tiene que \(Rg(A)=Rg(\bar{A})=2<\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\boxed{\hbox{el sistema es compatible indeterminado}}\)

Las infinitas soluciones serán (dando un valor genérico, \(\lambda\), a una de las variables y despejando las otras dos en función de ésta se pueden escribir las infinitas soluciones) \(\boxed{\displaystyle\begin{cases}x=&-\lambda\\y=&-2\lambda \\z=&\lambda \\\end{cases}}\)

 

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