\[\]Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-16x^2+16x-3}}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-16x^2+16x-3}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-16x^2+16x-4}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(4x-2)^2}}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\frac 14\arcsin (4x-2)+C}\)
Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{2x-5}{x^2+2x+2}dx\)
Dividiendo la integral en dos fracciones queda,
\(\displaystyle\int\frac{2x-5}{x^2+2x+2}dx= \displaystyle\int\frac{2x}{x^2+2x+2}-\frac{5}{x^2+2x+2}dx\)
Para que en el numerador de la primera fracción aparezca la derivada del denominador (\((x^2+2x+2)’=2x+2\)) y poder integrar directamente, se reescribe la segunda fracción;
\(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+2x+2}-\frac{5}{x^2+2x+2}dx=\displaystyle\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}-\frac{7}{x^2+2x+2}dx\)
Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales y con ayuda de la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\ln (x^2+2x+2)-7\arctan (x+1) +C}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
Reescribiendo la integral queda
\(\displaystyle\int\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int\arccos x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
Como \((\arccos x)’\) es \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), ver tabla de derivadas
se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\frac{-\arccos ^2x}{2}+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{4+e^{4x}}dx\)
Haciendo el cambio de variable \(u= e^{2x}\), \(du=2e^{2x}dx\), se obtiene
\(\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{4+e^{4x}}dx= \displaystyle\int\frac{\frac{du}{2}}{4+u^2}=\displaystyle\int\frac{\frac{du}{2}}{4(1+(\frac{u}{2})^2)}\)
Consultando la tabla de integrales se tiene
\(\displaystyle\int\frac{\frac{du}{2}}{4(1+(\frac{u}{2})^2)}=\frac 14\arctan\big(\frac{u}{2}\big)+C\)
Deshaciendo el cambio de variable \(u= e^{2x}\), se obtiene el resultado final
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 14\arctan\big(\frac{e^{2x}}{2}\big)+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{2}{\sqrt{x}(x+1)}dx\)
La integral puede escribirse como
\(\displaystyle\int\frac{2}{\sqrt{x}(x+1)}dx= \displaystyle\int\frac{2}{\sqrt{x}}\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}dx\)
Como \((\sqrt{x})’=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\), consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle 4\arctan \sqrt{x}+C}\)
Ver ejercicios de repaso de Integrales trigonométricas