Ejercicios de Integrales trigonométricas III

Ejercicio 1: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-16x^2+16x-3}}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{-16x^2+16x-3}}dx= \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-16x^2+16x-4}}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(4x-2)^2}}dx\)

Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\frac 14\arcsin (4x-2)+C}\)

 

Ejercicio 2: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{2x-5}{x^2+2x+2}dx\)

Dividiendo la integral en dos fracciones queda,

\(\displaystyle\int\frac{2x-5}{x^2+2x+2}dx= \displaystyle\int\frac{2x}{x^2+2x+2}-\frac{5}{x^2+2x+2}dx\)

Para que en el numerador de la primera fracción aparezca la derivada del denominador (\((x^2+2x+2)'=2x+2\)) y poder integrar directamente, se reescribe la segunda fracción;

\(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+2x+2}-\frac{5}{x^2+2x+2}dx=\displaystyle\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}-\frac{7}{x^2+2x+2}dx\)

Sabiendo que la resta de integrales es la integral de la resta, ver operaciones con integrales y con ayuda de la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\ln (x^2+2x+2)-7\arctan (x+1) +C}\)

Ejercicio 3: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

Reescribiendo la integral queda

\(\displaystyle\int\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int\arccos x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

Como \((\arccos x)'\) es \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), ver tabla de derivadas
se tiene el resultado

\(\boxed{\dfrac{-\arccos ^2x}{2}+C}\)

 

Ejercicio 4: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{4+e^{4x}}dx\)

Haciendo el cambio de variable \(u= e^{2x}\), \(du=2e^{2x}dx\), se obtiene

\(\displaystyle\int\frac{e^{2x}}{4+e^{4x}}dx= \displaystyle\int\frac{\dfrac{du}{2}}{4+u^2}=\displaystyle\int\frac{\dfrac{du}{2}}{4(1+(\frac{u}{2})^2)}\)

Consultando la tabla de integrales se tiene

\(\displaystyle\int\frac{\dfrac{du}{2}}{4(1+(\frac{u}{2})^2)}=\frac 14\arctan\big(\frac{u}{2}\big)+C\)

Deshaciendo el cambio de variable \(u= e^{2x}\), se obtiene el resultado final

\(\boxed{\displaystyle\frac 14\arctan\big(\frac{e^{2x}}{2}\big)+C}\)

Ejercicio 5: Resolver la siguiente integral trigonométrica \(\displaystyle\int\frac{2}{\sqrt{x}(x+1)}dx\)

La integral puede escribirse como

\(\displaystyle\int\frac{2}{\sqrt{x}(x+1)}dx= \displaystyle\int\frac{2}{\sqrt{x}}\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}dx\)

Como \((\sqrt{x})'=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\), consultando la tabla de integrales se tiene el resultado

\(\boxed{\displaystyle 4\arctan \sqrt{x}+C}\)

 

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