\[\] Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int \frac{x^{\frac 52}+5x^{\frac 12}}{x^{\frac 52}}dx\)
Reescribiendo primeramente la integral, se tiene
\(\displaystyle\int \frac{x^{\frac 52}+5x^{\frac 12}}{x^{\frac 52}}dx=\displaystyle\int 1+\frac{5}{x^2}dx\)
Sabiendo que la suma de integrales es la integral de la suma, ver operaciones con integrales, se tiene
\(\displaystyle\int 1+\frac{5}{x^2}dx=\displaystyle\int 1dx+\int\frac{5}{x^2}dx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int 1dx+\int\frac{5}{x^2}dx=\displaystyle x-\frac{5}{x}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{x^2-5}{x}+C}\)
\[\] Ejercicio 7: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int x^2\ln xdx\)
Como en la expresión no aparece una función y su derivada (salvo constantes) y no es de tipo racional ni puede simplificarse, la integral se resuelve por partes.
Para ello se debe identificar \(u\) y \(dv\) en la expresión, ver cómo integrar por partes, en este caso
\(u=\ln x,\; du=\frac{dx}{x}\) y \(dv= x^2,\; v=\frac{x^3}{3}\), teniendo en cuenta la tabla de integrales, en concreto la integral de una potencia, quedaría,
\(\displaystyle\int x^2\ln xdx=\displaystyle\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}dx=\displaystyle\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C\)
De forma que el resultado queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C}\)
\[\] Ejercicio 8: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2-4x}dx\)
Reescribiendo el denominador se obtiene,
\(\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2-4x}dx=\displaystyle\int\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}dx=\displaystyle\int\frac{1}{x-2}dx\)
Consultando la tabla de integrales se obtiene el resultado final,
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\ln (x-2)+C}\)
\[\] Ejercicio 9: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int 5x\sqrt[3]{1+x^2}dx\)
Reescribiendo primeramente la integral, se tiene
\(\displaystyle\int 5x\sqrt[3]{1+x^2}dx=\displaystyle\int 5x(1+x^2)^{\frac 13}dx\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int 5x(1+x^2)^{\frac 13}dx=\displaystyle\frac 52\frac{(1+x^2)^{\frac 43}}{\frac 43}+C\)
Reescribiendo el resultado, queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{15}{8}\sqrt[3]{(1+x^2)^4}+C}\)
\[\] Ejercicio 10: Hallar el valor de la siguiente integral \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-(x+1)^2}}dx\)
Consultando la tabla de integrales se tiene el resultado
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\arcsin (x+1)+C}\)