\[\]Ejercicio 1: Teniendo los polinomios \(P(x)=5X^2-3x+2\), \(R(x)=x+1\) y \(Q(x)=2x^3-1\), realizar las siguientes operaciones
\(P(x)+Q(x),\;P(x)-Q(x),\;P(x)\cdot Q(x),\; P(x)-R(x),\; R(x)-Q(x),\; P(x)\cdot R(x)\)
Teniendo en cuenta la teoría sobre polinomios, se obtiene el resultado
\(P(x)+Q(x))=\bbox[yellow]{5x^2+2x^3-3x+1}\)
\(P(x)-Q(x))=5x^2-3x+2-2x^3+1=\bbox[yellow]{5x^2+2x^3-3x+3}\)
\(P(x)\cdot Q(x)=(5X^2-3x+2)(2x^3-1)=\bbox[yellow]{10x^5-5x^2-6x^4-3x+4x^3-2}\)
\(P(x)-R(x)=\bbox[yellow]{5x^2-4x+1}\)
\(R(x)-Q(x)=x-2x^3+2=\bbox[yellow]{-2x^3+x+2}\)
\(P(x)\cdot R(x)=5x^3+5x^2-3x^2-3x+2x+2=\bbox[yellow]{5x^3-2x^2-x+2}\)
Ejercicio 2: Descomponer en un producto de suma por diferencia las siguientes diferencias de cuadrados
a) \(x^2-9\)
b) \(4-a^2\)
c) \(36-25a^2\)
d) \(15-\frac 94 a^2\)
e) \(16-x^2\)
f) \(100-\frac{a^2}{4}\)
g) \(\frac{16}{25}-x^4\)
h) \(2-\frac{64}{y^2}\)
Recordando las igualdades notables, se pueden hallar los resultados pedidos
a) \(x^2-9=\bbox[yellow]{(x+3)(x-3)}\)
b) \(4-a^2=\bbox[yellow]{(2-a)(2+a)}\)
c) \(36-25a^2=\bbox[yellow]{(6-5a)(6+5a)}\)
d) \(15-\frac 94 a^2=\bbox[yellow]{(\sqrt{15}-\frac 32 a)(\sqrt{15}+\frac 32 a)}\)
e) \(16-x^2=\bbox[yellow]{(4-x)(4+x)}\)
f) \(100-\frac{a^2}{4}=\bbox[yellow]{(10-\frac a2)(10+\frac a2)}\)
g) \(\frac{16}{25}-x^4=\bbox[yellow]{(\frac 45 -x^2)(\frac 45 +x^2)}\)
>h) \(2-\frac{64}{y^2}=\bbox[yellow]{(\sqrt{2}-\frac 8y)(\sqrt{2}+\frac 8y)}\)
\[\] Ejercicio 3: Sacar factor común de los siguientes polinomios
1) \(2x^3+4x^3\)
2) \(a^6-3a^5+a^3\)
3) \(x^2y^3+5xy-7xy^2\)
4) \(12x-4\)
5) \(\frac{x^2-x}{x}\)
6) \(\frac{6x^3+5x^2-3x}{4x^2}\)
Primeramente es necesario recordar cómo se saca factor común en un polinomio para obtener el resultado
1) \(2x^3+4x^3=\bbox[yellow]{2x^2(x+2)}\)
2) \(a^6-3a^5+a^3=\bbox[yellow]{a^3(a^3-3a+1)}\)
3) \(x^2y^3+5xy-7xy^2=\bbox[yellow]{xy(xy^2+5-7y)}\)
4) \(12x-4=\bbox[yellow]{4(3x-1)}\)
5) \(\frac{x^2-x}{x}=\frac{x(x-1)}{x}=\bbox[yellow]{x-1}\)
6) \(\frac{6x^3+5x^2-3x}{4x^2}=\frac{x(6x^2+5x-3)}{4x^2}=\bbox[yellow]{\frac{6x^2+5x-3}{4x}}\)