Ejercicio : (Junio 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Una bolsa contiene diez monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza
a) Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento
b) Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda elegida tenga cara y cruz?
Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:
\(A\equiv\) Escoger una monede con cara y cruz
\(B\equiv\) Escoger una moneda con dos caras
\(D\equiv\) Escoger una moneda con dos cruces
\(C\equiv\) Obtener cara en el lanzamiento de una moneda
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(A)=\frac{5}{10}\)
\(P(B)=\frac{3}{10}\)
\(P(D)=\frac{2}{10}\)
\(P(C|A)=\frac 12\)
\(P(C|B)=1\)
\(P(C|D)=0\)
a) La probabilidad de que salga cara será la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la moneda \(A\), más la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la \(B\), más la probabilidad de que salga cara habiendo escogido la \(D\), ver la teoría de la probabilidad
\(P(C)=P((A\cap C)\cup (B\cap C)\cup (D\cap C))=P(A\cap C)+P(B\cap C)+P(D\cap C)=P(A).P(C|A)+P(B)P(C|B)+P(D)P(C|D)=\frac{5}{10}.\frac 12+\frac{3}{10}.1+\frac{2}{10}.0=\bbox[yellow]{\frac{11}{20}}\)
b) Se trata de una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada
\(P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{\frac{5}{10}.\frac 12}{\frac{11}{20}}=\bbox[yellow]{\frac{5}{11}}\)
Ejercicio : (Junio 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un experimento aleatorio tales que \(P(A)=0,2\) y \(P(B)=0,4\)
a) Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, determínses \(P(A\cap B)\)). ¿Son además \(A\) y \(B\) independientes? Razónese
b) Si \(A\) y \(B\) son independientes, calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes? Razónese
c) Si \(P(A|B)=0\), calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) mutuamente excluyentes?¿Son independientes? Razónese
d) Si \(A\subset B\), calcúlese \(P(A\cap B)\). ¿Son \(A\) y \(B\) independientes? Razónese
a) Dos sucesos son mutuamente excluyentes si al ocurrir uno es imposible que el otro ocurra, es decir, no existen elementos comunes ys u intersección es el vacío, ver teoría de la probabilidad
Luego, \(\bbox[yellow]{P(A\cap B)=0}\)
Además, \(\bbox[yellow]{\hbox{los sucesos no son independientes}}\), ya que si lo fueran debería cumplirse que \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) y este caso, \(P(A)P(B)=0,2.0,4=0,08\neq 0\)
b) Si los sucesos son independientes se tiene, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=0,2.0,4=\bbox[yellow]{0,08}\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{No son excluyentes}}\) ya que la inersección es distinta de cero
c) Utilizando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada, se tiene
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0\Rightarrow P(A\cap B)=0\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{los sucesos son excluyentes y no son independientes}}\)
d) Si \(A\subset B\), \(P(A\cap B)=P(A)=0,2\)
Es decir, \(P(A)P(B)=0,2.0,4=0,08\neq P(A\cap B)=0,2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{Los sucesos no son independientes}}\)