Ejercicios de trigonometría

Ejercicio 1: Pasar a radianes los siguientes ángulos

a) 300º
b) 60º
c) 120º
d) 720º

Teniendo en cuenta que 180º son \(\pi\) radianes se hará una regla de tres para saber a cuántos radianes corresponden los ángulos dados, de esta forma será \(radianes=\dfrac{grados \cdot\pi}{180}\), ver la teoría sobre grados y radianes

a) 300º\(\Rightarrow x=\dfrac{300\cdot\pi}{180}=\boxed{\dfrac 53\pi\hbox{ radianes}}\)

b) 60º\(\Rightarrow x=\dfrac{60\cdot\pi}{180}=\boxed{\dfrac 13\pi\hbox{ radianes}}\)

c) 120º\(\Rightarrow x=\dfrac{120\cdot\pi}{180}=\boxed{\dfrac 23\pi\hbox{ radianes}}\)

d) 720º\(\Rightarrow x=\dfrac{720\cdot\pi}{180}=\boxed{\dfrac 4\pi\hbox{ radianes}}\)

 

Ejercicio 2: Pasar a grados los siguientes radianes

a) \(\dfrac 32\pi\) radianes
b) \(2\pi\) radianes
c) \(\dfrac {\pi}{4}\) radianes
d) \(\dfrac{10}{9}\pi\) radianes

Teniendo en cuenta que 180º son \(\pi\) radianes, como en el ejercicio anterior se hará una regla de tres para saber a cuántos grados corresponden los radianes dados, de esta forma, y teniendo en cuenta que en el ejercicio se expresan los radianes en términos de \(\pi\), será \(grados=\dfrac{radianes\pi \cdot 180}{\pi}=radianes \cdot 180\), ver la teoría sobre grados y radianes

a) \(\dfrac 32\pi\) radianes\(\Rightarrow x=\dfrac 32\cdot 180=\boxed{270\hbox{ grados}}\)

b) \(2\pi\) radianes\(\Rightarrow x=2\cdot 180=\boxed{360\hbox{ grados}}\)

c) \(\dfrac {\pi}{4}\) radianes\(=\dfrac {1}{4}\pi\)radianes\(\Rightarrow x=\dfrac 14\cdot 180=\boxed{45\hbox{ grados}}\)

d) \(\dfrac{10}{9}\pi\) radianes\(\Rightarrow x=\dfrac{10}{9}\cdot 180=\boxed{200\hbox{ grados}}\)

Ejercicio 3: Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos \(A\) y \(B\) de un triángulo rectángulo cuyos catetos son \(a=3\) y \(b=4\)

Sabiendo las expresiones de las funciones fundamentales de la trigonometría y su relación con los triángulos rectángulos se puede obtener el resultado, ver trigonometría en triángulos

\(\boxed{\sin A=\dfrac 35}\), \(\boxed{\cos A=\dfrac 45}\)

Por lo tanto, la tangente será \(\boxed{\tan A=\dfrac 34}\) y \(\boxed{\cot A= \dfrac 43}\)

Sabiendo que la cosecante es la inversa de la función seno y la secante la inversa del coseno, se tiene
\(\boxed{\csc A=\dfrac 53}\) y \(\boxed{\sec A=\dfrac 54}\)

Y para \(B\) se tiene

\(\boxed{\sin B=\dfrac 45}\), \(\boxed{\cos B=\dfrac 35}\)

La tangente será \(\boxed{\tan B=\dfrac 43}\) y \(\boxed{\cot B= \dfrac 34}\)

Al igual que en el otro caso, sabiendo que la cosecante es la inversa de la función seno y la secante la inversa del coseno, se obtienen el resto de razones
\(\boxed{\csc B=\dfrac 54}\) y \(\boxed{\sec B=\dfrac 34}\)

Ejercicio 4: Un triángulo \(ABC\) tiene por lados \(6\) cm, \(6\) cm y \(6\) cm. Hallar las razones trigonométricas del ángulo menor

Teniendo en cuenta que el lado mayor será la hipotenusa y recordando las funciones fundamentales de la trigonometría y la relación de éstas con los triángulos rectángulos se tiene el resultado, ver trigonometría en triángulos

\(\boxed{\sin A=\dfrac{8}{10}}\), \(\boxed{\cos A=\dfrac{6}{10}}\)

Entonces, la tangente será \(\boxed{\tan A=\dfrac{8}{6}}\) y \(\boxed{\cot A= \dfrac 68}\)

La cosecante es la inversa de la función seno y la secante la inversa del coseno, por lo tanto
\(\boxed{\csc A=\dfrac{10}{8}}\) y \(\boxed{\sec A=\dfrac{10}{6}}\)

 

Ejercicio 5: Calcular la cosecante, la secante y el coseno de \(\alpha\) sabiendo que \(\sin\alpha=-\dfrac 12\) y que \(270\)º\(\leq\alpha\leq 360\)º

Sabiendo que la cosecante es la inversa del seno, ver razones trigonométricas, se tiene

\(\boxed{\csc\alpha=-2}\)

Recordando la expresión trigonométrica \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\) y que \(270\)º\(\leq\alpha\leq 360\)º, se obtiene el coseno

\(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\Rightarrow (-\dfrac 12)^2+\cos^2\alpha=1\Rightarrow 1-\dfrac 14=\cos^2\alpha\Rightarrow \cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac 34}\Rightarrow \boxed{\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)

Como la secante es la inversa del coseno, se tiene \(\boxed{\sec\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{3}}}\)

Ejercicio 6: Calcular la secante, la tangente y la cotangente de \(\alpha\) sabiendo que \(\cos\alpha=-\dfrac 12\) y que \(180\)º\(\leq\alpha\leq 270\)º

Sabiendo que la secante es la inversa del coseno, consultarlo en razones trigonométricas, se obtiene

\(\boxed{\sec\alpha=-2}\)

Recordando la ecuación trigonométrica \(1 +\tan^2\alpha =\sec^2\alpha\) y que \(180\)º\(\leq\alpha\leq 270\)º, se obtiene la tangente

\(1 +\tan^2\alpha =\sec^2\alpha\Rightarrow 1 +\tan^2\alpha =(-2)^2\alpha\Rightarrow \tan\alpha=\pm\sqrt{3}\Rightarrow\boxed{\tan\alpha=\sqrt{3}}\)

Como la cotangente es inversa del tangente, se tiene \(\boxed{\cot\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\)

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