\[\]Ejercicio 1: Pasar a radianes los siguientes ángulos
a) 300º
b) 60º
c) 120º
d) 720º
Teniendo en cuenta que 180º son \(\pi\) radianes se hará una regla de tres para saber a cuántos radianes corresponden los ángulos dados, de esta forma será \(radianes=\frac{grados \cdot\pi}{180}\), ver la teoría sobre grados y radianes
a) 300º\(\Rightarrow x=\frac{300\cdot\pi}{180}=\bbox[yellow]{\frac 53\pi\hbox{ radianes}}\)
b) 60º\(\Rightarrow x=\frac{60\cdot\pi}{180}=\bbox[yellow]{\frac 13\pi\hbox{ radianes}}\)
c) 120º\(\Rightarrow x=\frac{120\cdot\pi}{180}=\bbox[yellow]{\frac 23\pi\hbox{ radianes}}\)
d) 720º\(\Rightarrow x=\frac{720\cdot\pi}{180}=\bbox[yellow]{\frac 4\pi\hbox{ radianes}}\)
Ejercicio 2: Pasar a grados los siguientes radianes
a) \(\frac 32\pi\) radianes
b) \(2\pi\) radianes
c) \(\frac {\pi}{4}\) radianes
d) \(\frac{10}{9}\pi\) radianes
Teniendo en cuenta que 180º son \(\pi\) radianes, como en el ejercicio anterior se hará una regla de tres para saber a cuántos grados corresponden los radianes dados, de esta forma, y teniendo en cuenta que en el ejercicio se expresan los radianes en términos de \(\pi\), será \(grados=\frac{radianes\pi \cdot 180}{\pi}=radianes \cdot 180\), ver la teoría sobre grados y radianes
a) \(\frac 32\pi\) radianes\(\Rightarrow x=\frac 32\cdot 180=\bbox[yellow]{270\hbox{ grados}}\)
b) \(2\pi\) radianes\(\Rightarrow x=2\cdot 180=\bbox[yellow]{360\hbox{ grados}}\)
c) \(\frac {\pi}{4}\) radianes\(=\frac {1}{4}\pi\)radianes\(\Rightarrow x=\frac 14\cdot 180=\bbox[yellow]{45\hbox{ grados}}\)
d) \(\frac{10}{9}\pi\) radianes\(\Rightarrow x=\frac{10}{9}\cdot 180=\bbox[yellow]{200\hbox{ grados}}\)
\[\] Ejercicio 3: Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos \(A\) y \(B\) de un triángulo rectángulo cuyos catetos son \(a=3\) y \(b=4\)
Sabiendo las expresiones de las funciones fundamentales de la trigonometría y su relación con los triángulos rectángulos se puede obtener el resultado, ver trigonometría en triángulos
\(\bbox[yellow]{\sin A=\frac 35}\), \(\bbox[yellow]{\cos A=\frac 45}\)
Por lo tanto, la tangente será \(\bbox[yellow]{\tan A=\frac 34}\) y \(\bbox[yellow]{\cot A= \frac 43}\)
Sabiendo que la cosecante es la inversa de la función seno y la secante la inversa del coseno, se tiene
\(\bbox[yellow]{\csc A=\frac 53}\) y \(\bbox[yellow]{\sec A=\frac 54}\)
Y para \(B\) se tiene
\(\bbox[yellow]{\sin B=\frac 45}\), \(\bbox[yellow]{\cos B=\frac 35}\)
La tangente será \(\bbox[yellow]{\tan B=\frac 43}\) y \(\bbox[yellow]{\cot B= \frac 34}\)
Al igual que en el otro caso, sabiendo que la cosecante es la inversa de la función seno y la secante la inversa del coseno, se obtienen el resto de razones
\(\bbox[yellow]{\csc B=\frac 54}\) y \(\bbox[yellow]{\sec B=\frac 34}\)
\[\]Ejercicio 4: Un triángulo \(ABC\) tiene por lados \(6\) cm, \(6\) cm y \(6\) cm. Hallar las razones trigonométricas del ángulo menor
Teniendo en cuenta que el lado mayor será la hipotenusa y recordando las funciones fundamentales de la trigonometría y la relación de éstas con los triángulos rectángulos se tiene el resultado, ver trigonometría en triángulos
\(\bbox[yellow]{\sin A=\frac{8}{10}}\), \(\bbox[yellow]{\cos A=\frac{6}{10}}\)
Entonces, la tangente será \(\bbox[yellow]{\tan A=\frac{8}{6}}\) y \(\bbox[yellow]{\cot A= \frac 68}\)
La cosecante es la inversa de la función seno y la secante la inversa del coseno, por lo tanto
\(\bbox[yellow]{\csc A=\frac{10}{8}}\) y \(\bbox[yellow]{\sec A=\frac{10}{6}}\)
\[\]Ejercicio 5: Calcular la cosecante, la secante y el coseno de \(\alpha\) sabiendo que \(\sin\alpha=-\frac 12\) y que \(270\)º\(\leq\alpha\leq 360\)º
Sabiendo que la cosecante es la inversa del seno, ver razones trigonométricas, se tiene
\(\bbox[yellow]{\csc\alpha=-2}\)
Recordando la expresión trigonométrica \(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\) y que \(270\)º\(\leq\alpha\leq 360\)º, se obtiene el coseno
\(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\Rightarrow (-\frac 12)^2+\cos^2\alpha=1\Rightarrow 1-\frac 14=\cos^2\alpha\Rightarrow \cos\alpha=\pm\sqrt{\frac 34}\Rightarrow \bbox[yellow]{\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Como la secante es la inversa del coseno, se tiene \(\bbox[yellow]{\sec\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\[\] Ejercicio 6: Calcular la secante, la tangente y la cotangente de \(\alpha\) sabiendo que \(\cos\alpha=-\frac 12\) y que \(180\)º\(\leq\alpha\leq 270\)º
Sabiendo que la secante es la inversa del coseno, consultarlo en razones trigonométricas, se obtiene
\(\bbox[yellow]{\sec\alpha=-2}\)
Recordando la ecuación trigonométrica \(1 +\tan^2\alpha =\sec^2\alpha\) y que \(180\)º\(\leq\alpha\leq 270\)º, se obtiene la tangente
\(1 +\tan^2\alpha =\sec^2\alpha\Rightarrow 1 +\tan^2\alpha =(-2)^2\alpha\Rightarrow \tan\alpha=\pm\sqrt{3}\Rightarrow\bbox[yellow]{\tan\alpha=\sqrt{3}}\)
Como la cotangente es inversa del tangente, se tiene \(\bbox[yellow]{\cot\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}}\)