Ecuaciones trigonométricas

Definiciones básicas

Grado- Medida de cada uno de los ángulos que resulta al dividir el ángulo recto en \(90\)º iguales. El grado tiene dos submúltiplos:

El minuto- Equivale a una sexagésima parte del grado- 1º=60'

El segundo- Equivale a la sexagésima parte del minuto- 1'=60''

 

Radián- Es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de ese círculo un arco de longitud igual al radio

La relación entre radianes y grados es

\(\boxed{180 grados\equiv \pi radianes}\)

 

Trigonometría en triángulos

Pitágoras: Sea \(h\) la hipotenusa de un triángulo rectángulo y \(a\) y \(b\) sus catetos, entonces \(\boxed{h^2=a^2+b^2}\)

La suma de todos los ángulos de un triángulo es \(180\) grados

\(\boxed{\sin\alpha= \dfrac{a}{h}}\), con \(a\) el cateto opuesto al ángulo \(\alpha\)

\(\boxed{\cos\alpha=\dfrac{b}{h}}\), con \(b\) el cateto contiguo al ángulo \(\alpha\)

Teorema del seno:

Sea \(A\) un vértice del triángulo y \(a\) el lado que está en frente de dicho vértice (el único lado no  contiguo a \(A\))
Sea por otra parte \(B\) otro vértice y \(b\) el lado opuesto a dicho vértices, entonces se cumple:

                    \(\boxed{\dfrac{b}{sen B}=\dfrac{a}{sen A}}\)

Sean \(a, b, c\) los lados de un triángulo y \(A\) el vértice enfrentado al lado \(a\), entonces: \(\boxed{a^2=b^2+c^2-2.b.c.\cos A}\)

Definiciones de las funciones trigonométricas fundamentales

Función \(\sin x\)

Es una función continua y periódica, de período \(2\pi\), ver funciones continuas
El seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, ver trigonometría en triángulos

\(\sin 0=0\) \(\sin \pi +k=0\) con \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\sin \frac{\pi}{2}=1\) \(\sin \frac{\pi}{2} +k=1\) con \(k\in\mathbb{Z}\)
\((\sin x)'=\cos x\) \(\int\sin x dx=-\cos x +C\)
\(\sin (-x)=-\sin x\) \(\sin ^{-1}x=\arcsin x\)

Función \(\cos x\)

Es una función continua y periódica, de período \(2\pi\), ver funciones continuas
El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa, ver trigonometría en triángulos

\(\cos 0=1\) \(\cos \pi +k=1\) con \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\cos \frac{\pi}{2}=0\) \(\cos \frac{\pi}{2} +k=0\) con \(k\in\mathbb{Z}\)
\((\cos x)'=-\sin x\) \(\int\cos x dx=\sin x+C\)
\(\cos (-x)=\cos x\) \(\cos ^{-1}x=\arccos x\)

En la siguiente figura, la función \(\sin x\) está representada en azul y el \(\cos x\) en granate

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Expresiones trigonométricas

\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) \(\tan ^2 x+1=\sec^2 x\)
\(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\) \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(1+\cot ^2 x=\csc^2 x\) \(\csc x=\dfrac{1}{\sin x}\)
\(\sin 2a=2\sin a.\cos b\) \(\cos 2a= \cos^2a-\sin^2a\)
\(\sin (a+b)=\sin a.\sin b+\cos a.\cos b\) \(\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b\)
\(\cos(a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b\) \(\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b\)

 

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