\[\] Ejercicio 6: Sean \(r\) la recta determinada por los puntos \(A(1,1,0)\) y \(B(1,0,1)\) y \(s\) la recta de ecuaciones: \(\displaystyle\frac{x-3}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}\)
1. Estudiar la posición relativa de ambas rectas
2. Hallar, si es posible, una recta que pase por el punto \(C(1,2,3)\) y que corte a las rectas \(r\) y \(s\)
1. Para calcular la expresión de la recta \(r\) se halla primero el vector director de dicha recta, ver cómo calcular una recta con dos puntos dados,
\(\displaystyle\vec{u_r}=\vec{AB}=(-1,0,1)-(1,1,0)=(-2,-1,1)\)
De forma que la recta \(r\) puede escribirse como:
\(\displaystyle r:\begin{cases}x=&-1-2t\\\ y=&-t\\\ z=&1+t\\\end{cases}\)
Escribiendo también la recta \(s\) en su expresión paramétrica se obtiene, ver ecuaciones de la recta,
\(\displaystyle s:\begin{cases}x=&3+2\lambda\\\ y=&5\lambda\\\ z=&3\lambda\\\end{cases}\)
Siendo, por lo tanto, \(\vec{u_s}=(2,5,3)\) el vector director de la recta \(s\)
De forma que como los vectores directores de ambas rectas no son proporcionales, las rectas no pueden ser paralelas y, por lo tanto, o se cruzan o se cortan
La manera de comprobar cuál de las opciones se tiene es construir un sistema y resolverlo para ver si las rectas pueden cortarse en algún punto, ver posiciones relativas entre dos rectas,
\(\displaystyle\begin{cases}3+2\lambda=&-1-2t\\\ 5\lambda=&-t\\\ 3\lambda=&1+t\\\end{cases}\)
De la segunda y tercera ecuación se concluye que \(\displaystyle\lambda=\frac{1+t}{3}=-\frac{t}{5}\), es decir \(5+5t=-3t\Rightarrow t=-\frac{5}{8}\)
Por otra parte, incluyendo el valor \(\displaystyle\lambda=-\frac{t}{5}\) en la primera ecuación se tiene que
\(\displaystyle 3-\frac{2t}{5}=1-2t\Rightarrow t(2-\frac{2}{5})=-2\Rightarrow t=-\frac{10}{8}\neq -\frac{5}{8}\)
Como el sistema no tiene solución (ya que se han encontrado dos valores para \(t\) distintos entre sí), las rectas no pueden cortarse en un punto, luego \(\bbox[yellow]{\hbox{se cruzan}}\)
\[\] Ejercicio 7: Probar que las siguientes rectas se cortan en un punto y calcular el ángulo formado entre ellas \(\displaystyle r: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}\) y \(\displaystyle s:\begin{cases}x-y-z=&1\\\ 2x-2y+z=&-1\\\end{cases}\)
Para comprobar que las rectas se cortan en un punto primeramente se calcula el vector director de la recta \(s\), ver cómo se calcula un vector director de una recta dada y ver cómo resolver determinantes,
\(\displaystyle\vec{u_s}=\begin{array}{|crl|}i & j & k \\1 & -1 & -1 \\2 & -2 & 1\end{array}=-3i-3j=(-3,-3,0)=-3(1,1,0)\)
Para establecer la posición relativa entre las rectas se necesita el vector director de cada una de las rectas (ya calculados) y un vector formado por dos puntos (uno de cada recta), ver posición relativa entre dos rectas, para ello primero tiene que obtenerse un punto de cada recta para formar el vector, un punto de la recta \(r\) será \(P_1(3,2,1)\) (obtenido a partir de la expresión de la recta dada en el enunciado) y dando el valor \(x=0\) puede obtenerse el punto de \(s\): \(P_2(0,0,1)\)
De esta forma se calcula el vector formado por \(P_1\) y \(P_2\), ver cómo formar un vector con dos puntos dados,
\(\displaystyle\vec{P_1P_2}=(3,2,2)\)
Así se construyen los determinantes de la matriz \(A\) y de la matriz ampliada \(\bar{A}\) con estos tres vectores:
\(\displaystyle |A|=\begin{array}{|crl|}2 & 1 & 2 \\1 & 1 & 0 \end{array}\) y \(|\bar{A}|=\displaystyle\begin{array}{|crl|}2 & 1 & 2 \\1 & 1 & 0 \\3 & 2 & 2\end{array}\)
Como \(\displaystyle\begin{array}{|crl|}2 & 1 \\1 & 1 \end{array}=1\neq 0\), el rango de \(A\) será igual al rango de \(\bar{A}\) e igual a \(2\), luego queda probado que las rectas se cortan, ver posición relativa entre dos rectas
Para calcular el ángulo, \(\alpha\), formado entre ambas rectas se utilizará la siguiente fórmula, ver cómo calcular el ángulo entre dos rectas,
\(\cos\alpha=\frac{|2.1+1.(-1)+2.1|}{\sqrt{4+1+4}\sqrt{1+1+0}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha= 45}\)
\[\] Ejercicio 8: Hallar la ecuación de los planos paralelos al plano \(\pi: x+2y+z=2\) y que estén a distancia \(d=2\) de dicho plano
Sea \(P(x,y,z)\) un punto perteneciente al plano buscado, luego dicho punto estará a una distancia \(d=2\) del plano \(\pi\), es decir, ha de cumplirse que, ver distancia de un punto a un plano,
\(\displaystyle\frac{|x+2y+z-2|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=2\Rightarrow|x+2y+z-2|=2\sqrt{6}\)
De forma que se obtienen los siguientes planos:
\(\displaystyle\bbox[yellow]{x+2y+z-2(1+\sqrt{6})=0}\) y \(\displaystyle\bbox[yellow]{x+2y+z-2(1-\sqrt{6})=0}\)
\[\] Ejercicio 9: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas y calcular el ángulo que forman \(\displaystyle r: \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{5}=\frac{z}{2}\) y \(\displaystyle s:\begin{cases}x-y+z=&1\\\ 2x-2y+z=&0\\\end{cases}\)
Para hallar la posición relativa entre dos rectas se estudiará el determinante de la matriz formada por los vectores directores de las rectas así como el determinante de la matriz de los vectores directores y un tercer vector formado por dos puntos (uno de cada recta)
De manera que primeramente se calculará el vector director de la recta \(s\) (ya que el de la recta \(r\) viene implícito en la expresión del enunciado: \(\vec{u_r}=(3,5,2)\)),
\(\displaystyle\vec{u_s}=\begin{array}{|crl|}i & j & k \\1 & -1 & 1 \\2 & -2 & 1\end{array}=-3i+j-4k=(-3,1,-4)\)
Para calcular el tercer vector se calculará un punto de cada recta y se formará un vector con los puntos obtenidos
Dando el valor \(x=0\) en la recta \(s\) se tiene \(P_s(0,3,2)\) (el punto de \(r\) viene dado implícito en la expresión del enunciado: \(P_r(2,3,0)\))
De forma que el tercer vector será \(\vec{P_rP_s}=(0,3,2)-(2,3,0)=(-2,0,2)\)
Y los determinantes a estudiar serán
\(\displaystyle |A|=\begin{array}{|crl|}3 & 5 & 2 \\-3 & 1 & -4 \end{array}\) y \(|\bar{A}|=\displaystyle\begin{array}{|crl|}3 & 5 & 2 \\-3 & 1 & -4 \\-2 & 0 & 2\end{array}\)
Como \(\displaystyle\begin{array}{|crl|}3 & 5 \\-3 & 1 \end{array}=3+15\neq 0\), el rango de \(A\) será \(2\), ya que se ha encontrado un menor \(2×2\) en la matriz tal que su determinante es distinto de cero
Por otra parte, ver cómo resolver determinantes
\(|\bar{A}|=\displaystyle\begin{array}{|crl|}3 & 5 & 2 \\-3 & 1 & -4 \\-2 & 0 & 2\end{array}=46+34\neq 0\)
Luego el rango de \(\bar{A}\) es \(3\) y, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{las rectas se cruzan}}\), ver posición relativa entre dos rectas
Para calcular el ángulo, \(\alpha\), formado entre ambas rectas se utilizará la fórmula, ver cómo calcular el ángulo entre dos rectas,
\(\cos\alpha=\frac{|(3,5,2)(-3,1,-4)|}{\sqrt{9+25+4}\sqrt{9+1+16}}=\frac{12}{\sqrt{38}\sqrt{26}}\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha= 67.55}\)
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