\[\]Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
a) \(3^{x+1}=81\)
b) \(2^{x-1}=64\)
c) \(5^{x+2}=625\)
d) \(7^{x-2}=2401\)
e) \(3^{x}=27\)
f) \(9^{x}=729\)
g) \(3^{x+1}=729\)
h) \(12^{x}=20734\)
La idea es tratar de escribir la parte de la derecha de las ecuaciones como una potencia con base igual a la potencia de la izquierda del igual, para poder resolver el ejercicio, recordar cómo operar con potencias de igual base y de distinta base,
a) \(3^{x+1}=81\Rightarrow 3^{x+1}=3^{4}\Rightarrow x+1=4\Rightarrow\bbox[yellow]{x=4}\)
b) \(2^{x-1}=64\Rightarrow 2^{x-1}=2^{6}\Rightarrow x-1=6\Rightarrow\bbox[yellow]{x=7}\)
c) \(5^{x+2}=625\Rightarrow 5^{x+2}=5^{4}\Rightarrow x+2=4\Rightarrow\bbox[yellow]{x=2}\)
d) \(7^{x-2}=2401\Rightarrow 7^{x-2}=7^{4}\Rightarrow x-2=4\Rightarrow\bbox[yellow]{x=6}\)
e) \(3^{x}=27\Rightarrow 3^{x}=3^{3}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=3}\)
f) \(9^{x}=729\Rightarrow 9^{x}=9^{3}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=3}\)
g) \(3^{x+1}=729\Rightarrow 3^{x+1}=3^{6}\Rightarrow x+1=6\Rightarrow\bbox[yellow]{x=5}\)
h) \(12^{x}=20734\Rightarrow 12^{x}=12^{4}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=4}\)
Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones
a) \(2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=480\)
b) \(2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}=7\)
c) \(3^{x-1}+3^{x}+3^{x+1}=117\)
d) \(2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}+2^{x-4}=960\)
El objetivo de este ejercicio es sacar como factor común de cada sumando una potencia, recordar cómo se saca factor común y repasar cómo sumar y restar potencias de igual base
a) \(2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=480\Rightarrow 2^{x}+2^{x}\cdot 2+2^{x}\cdot 2^{2}+2^{x}\cdot 2^{3}=480\Rightarrow z=2^{x}\Rightarrow z+2z+4z+8z=480\Rightarrow 15z=480\Rightarrow z=32\Rightarrow 2^{x}=32=2^{5}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=5}\)
b) \(2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}=7\Rightarrow \frac{2^{x}}{2}+2^{x}+2^{x}\cdot 2=7\Rightarrow z=2^{x}\Rightarrow \frac{z}{2}+z+2z=7\Rightarrow 7z=14\Rightarrow z=2\Rightarrow 2^{x}=2\Rightarrow\bbox[yellow]{x=1}\)
c) \(3^{x-1}+3^{x}+3^{x+1}=117\Rightarrow \frac{3^{x}}{3}+3^{x}+3\cdot 3^{x}=117\Rightarrow z=3^{x}\Rightarrow\frac{z}{3}+\frac{3z}{3}+\frac{9z}{3}=\frac{351}{3}\Rightarrow 13z=351\Rightarrow z=27\Rightarrow 3^{x}=27\Rightarrow\bbox[yellow]{x=3}\)
d) \(2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}+2^{x-4}=960\Rightarrow\frac{2^{x}}{2}+\frac{2^{x}}{2^{2}}+\frac{2^{x}}{2^{3}}+\frac{2^{x}}{2^{4}}=960\Rightarrow z=2^{x}\Rightarrow \frac{8z}{16}+\frac{4z}{16}+\frac{2z}{16}+\frac{16z}{16}=\frac{15360}{16}\Rightarrow 16z=15360\Rightarrow z=1024\Rightarrow 2^x=1024\Rightarrow\bbox[yellow]{x=10}\)
\[\] Ejercicio 3: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
a) \(5^{2x}-30\cdot 5^x+125=0\)
b) \(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)
c) \(3^{2x+2}-28\cdot 3^{x}+3=0\)
d) \(4^{x}-5\cdot 2^x+4=0\)
La idea es tratar de escribir la parte de la derecha de las ecuaciones como una potencia con base igual a la potencia de la izquierda del igual, para poder resolver el ejercicio, recordar cómo operar con potencias de igual base y de distinta base,
a) \(5^{2x}-30\cdot 5^x+125=0\Rightarrow z=5^{x}\Rightarrow z^2-30z+125=0\Rightarrow z=\frac{30\pm\sqrt{(-30)^2-4\cdot 1\cdot 125}}{2\cdot 1}=\frac{30\pm\sqrt{900-500}}{2}=\frac{30\pm 20}{2}\Rightarrow z=25, z=5\Rightarrow 5^{x}=25, 5^{x}=5\bbox[yellow]{x=2, x=1}\)
b) \(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\Rightarrow z=5^{x}\Rightarrow z^2-6z+5=0\Rightarrow z=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}\Rightarrow z=5, z=1\Rightarrow\bbox[yellow]{x=0, x=1}\)
c) \(3^{2x+2}-28\cdot 3^{x}+3=0\Rightarrow (3^{x})^2\cdot 3^{2}-28\cdot 3^{x}+3=0\Rightarrow z=3^{x}\Rightarrow 9z^2-28z+3=0\Rightarrow z=\frac{28\pm\sqrt{(-28)^2-4\cdot 9\cdot 3}}{2\cdot 9}=\frac{28\pm 26}{18}\Rightarrow z=3, z=\frac 19\Rightarrow 3^{x}=3, 3^{x}=\frac 19\Rightarrow\bbox[yellow]{x=1, x=-2}\)
d) \(4^{x}-5\cdot 2^x+4=0\Rightarrow (2^{x})^2-5\cdot 2^x+4=0\Rightarrow z=2^x\Rightarrow z^2-5z+4=0\Rightarrow z=\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1\cdot 4}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow z=4, z=1\Rightarrow\bbox[yellow]{x=2, x=0}\)