Ejercicios de ecuaciones exponenciales

Ejercicio 1: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

a) \(3^{x+1}=81\)

b) \(2^{x-1}=64\)

c) \(5^{x+2}=625\)

d) \(7^{x-2}=2401\)

e) \(3^{x}=27\)

f) \(9^{x}=729\)

g) \(3^{x+1}=729\)

h) \(12^{x}=20734\)

La idea es tratar de escribir la parte de la derecha de las ecuaciones como una potencia con base igual a la potencia de la izquierda del igual, para poder resolver el ejercicio, recordar cómo operar con potencias de igual base y de distinta base,

a) \(3^{x+1}=81\Rightarrow 3^{x+1}=3^{4}\Rightarrow x+1=4\Rightarrow\boxed{x=4}\)

b) \(2^{x-1}=64\Rightarrow 2^{x-1}=2^{6}\Rightarrow x-1=6\Rightarrow\boxed{x=7}\)

c) \(5^{x+2}=625\Rightarrow 5^{x+2}=5^{4}\Rightarrow x+2=4\Rightarrow\boxed{x=2}\)

d) \(7^{x-2}=2401\Rightarrow 7^{x-2}=7^{4}\Rightarrow x-2=4\Rightarrow\boxed{x=6}\)

e) \(3^{x}=27\Rightarrow 3^{x}=3^{3}\Rightarrow\boxed{x=3}\)

f) \(9^{x}=729\Rightarrow 9^{x}=9^{3}\Rightarrow\boxed{x=3}\)

g) \(3^{x+1}=729\Rightarrow 3^{x+1}=3^{6}\Rightarrow x+1=6\Rightarrow\boxed{x=5}\)

h) \(12^{x}=20734\Rightarrow 12^{x}=12^{4}\Rightarrow\boxed{x=4}\)

 

Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones

a) \(2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=480\)

b) \(2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}=7\)

c) \(3^{x-1}+3^{x}+3^{x+1}=117\)

d) \(2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}+2^{x-4}=960\)

El objetivo de este ejercicio es sacar como factor común de cada sumando una potencia, recordar cómo se saca factor común y repasar cómo sumar y restar potencias de igual base

a) \(2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=480\Rightarrow 2^{x}+2^{x}\cdot 2+2^{x}\cdot 2^{2}+2^{x}\cdot 2^{3}=480\Rightarrow z=2^{x}\Rightarrow z+2z+4z+8z=480\Rightarrow 15z=480\Rightarrow z=32\Rightarrow 2^{x}=32=2^{5}\Rightarrow\boxed{x=5}\)

b) \(2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}=7\Rightarrow \dfrac{2^{x}}{2}+2^{x}+2^{x}\cdot 2=7\Rightarrow z=2^{x}\Rightarrow \dfrac{z}{2}+z+2z=7\Rightarrow 7z=14\Rightarrow z=2\Rightarrow 2^{x}=2\Rightarrow\boxed{x=1}\)

c) \(3^{x-1}+3^{x}+3^{x+1}=117\Rightarrow \dfrac{3^{x}}{3}+3^{x}+3\cdot 3^{x}=117\Rightarrow z=3^{x}\Rightarrow\dfrac{z}{3}+\dfrac{3z}{3}+\dfrac{9z}{3}=\dfrac{351}{3}\Rightarrow 13z=351\Rightarrow z=27\Rightarrow 3^{x}=27\Rightarrow\boxed{x=3}\)

d) \(2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}+2^{x-4}=960\Rightarrow\dfrac{2^{x}}{2}+\dfrac{2^{x}}{2^{2}}+\dfrac{2^{x}}{2^{3}}+\dfrac{2^{x}}{2^{4}}=960\Rightarrow z=2^{x}\Rightarrow \dfrac{8z}{16}+\dfrac{4z}{16}+\dfrac{2z}{16}+\dfrac{16z}{16}=\dfrac{15360}{16}\Rightarrow 16z=15360\Rightarrow z=1024\Rightarrow 2^x=1024\Rightarrow\boxed{x=10}\)

Ejercicio 3: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

a) \(5^{2x}-30\cdot 5^x+125=0\)

b) \(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\)

c) \(3^{2x+2}-28\cdot 3^{x}+3=0\)

d) \(4^{x}-5\cdot 2^x+4=0\)

La idea es tratar de escribir la parte de la derecha de las ecuaciones como una potencia con base igual a la potencia de la izquierda del igual, para poder resolver el ejercicio, recordar cómo operar con potencias de igual base y de distinta base,

a) \(5^{2x}-30\cdot 5^x+125=0\Rightarrow z=5^{x}\Rightarrow z^2-30z+125=0\Rightarrow z=\dfrac{30\pm\sqrt{(-30)^2-4\cdot 1\cdot 125}}{2\cdot 1}=\dfrac{30\pm\sqrt{900-500}}{2}=\dfrac{30\pm 20}{2}\Rightarrow z=25, z=5\Rightarrow 5^{x}=25, 5^{x}=5\boxed{x=2, x=1}\)

b) \(5^{2x}-6\cdot 5^{x}+5=0\Rightarrow z=5^{x}\Rightarrow z^2-6z+5=0\Rightarrow z=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2}=\dfrac{6\pm 4}{2}\Rightarrow z=5, z=1\Rightarrow\boxed{x=0, x=1}\)

c) \(3^{2x+2}-28\cdot 3^{x}+3=0\Rightarrow (3^{x})^2\cdot 3^{2}-28\cdot 3^{x}+3=0\Rightarrow z=3^{x}\Rightarrow 9z^2-28z+3=0\Rightarrow z=\dfrac{28\pm\sqrt{(-28)^2-4\cdot 9\cdot 3}}{2\cdot 9}=\dfrac{28\pm 26}{18}\Rightarrow z=3, z=\dfrac 19\Rightarrow 3^{x}=3, 3^{x}=\dfrac 19\Rightarrow\boxed{x=1, x=-2}\)

d) \(4^{x}-5\cdot 2^x+4=0\Rightarrow (2^{x})^2-5\cdot 2^x+4=0\Rightarrow z=2^x\Rightarrow z^2-5z+4=0\Rightarrow z=\dfrac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1\cdot 4}}{2}=\dfrac{5\pm 3}{2}\Rightarrow z=4, z=1\Rightarrow\boxed{x=2, x=0}\)

Ver ejercicios de potencias