Ejercicios de Continuidad y derivabilidad I

Ejercicio 1: Estudiar la continuidad de la función \(f(x)=\sqrt{x^2-2x}\)

Para ver dónde es continua esta función se halla su dominio (ver dominio de una función y continuidad)

Como se trata de una raíz cuadrada, ésta será continua si el polinomio del interior de la raíz es positivo o cero,

\(x^2-2x\geq 0\Rightarrow x(x-2)\geq 0\)

el producto de dos polinomios será mayor o igual a cero si ambos polinomios tienen el mismo signo o si alguno de los dos es cero (ver cómo resolver inecuaciones), de forma que de esta inecuación se obtienen dos condiciones,

\(x\geq 0\quad\hbox{y}\quad x\geq 2\), es decir, \(x\geq 2\)

\(x\leq 0\quad\hbox{y}\quad x\leq 2\), es decir, \(x\leq 0\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) así como sus puntos de continuidad será

\(\boxed{(-\infty, 0]\cup[2,\infty)}\)

 

Ejercicio 2: Estudiar la continuidad de la función \(f(x)=\displaystyle\frac{x^3}{x^2-1}\)

Para estudiar la continuidad de esta función, se hallan las raíces del denominador (continuidad y el dominio de una función)

En este caso, \(x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\)

De esta forma, los puntos donde la función es continua son

\(\boxed{(-\infty, -1)\cup (-1,1)\cup (1,\infty)}\)

Ejercicio 3: Estudiar la continuidad de la función \(\displaystyle\begin{cases}x^3-3x+1&x<0\\x-1&x\geq 0\\\end{cases}\)

La función está formada por dos polinomios, luego el único punto de posible discontinuidad es \(x=0\) (continuidad)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}(x-1)^2=f(0)=1\)

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}x^3-3x+1=1\)

Como \(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)\), la función es continua en \(x=1\) (vcontinuidad de funciones)

De manera que la función es continua en todo \(\boxed{\mathbb{R}}\)

 

Ejercicio 4: Estudiar la continuidad de la función \(\displaystyle\begin{cases}1&x<-3\\\frac{x}{3}+2&-3\leq x\leq 0 \\7&x=0\\x+2&x>0 \\\end{cases}\)

La función está formada dos polinomios, \(1,\frac{x}{3}+2, 7\;\hbox{y}\; x+2\), luego los únicos puntos de posible discontinuidad son \(x=0\) y \(x=-3\) (ver continuidad de una función)

Para comprobar si la función es continua en dichos puntos se evalúan los límites laterales y la función en los puntos.

Primero en \(x=-3\),

\(\lim\limits_{x\to -3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -3^{+}}\frac{x}{3}+2=f(-3)=1\)

\(\lim\limits_{x\to -3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -3^{-}}1=1\)

Como \(\lim\limits_{x\to -3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=f(-3)\), la función es continua en \(x=-3\) (ver continuidad)

Se procede de la misma manera en \(x=0\),

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}x+2=2\)

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{x}{3}+2=2\)

y \(f(0)=7\)

Como \(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)\neq f(0)\), la función no es continua en \(x=0\), de hecho tiene una discontinuidad evitable en dicho punto (ver la teoría de continuidad)

De manera que la función es continua en los intervalos

\(\boxed{(-\infty,0)\cup (0,\infty)}\)

Ejercicio 5: Estudiar la continuidad en el intervalo \([-2,0]\) de la función \(\displaystyle\begin{cases}\frac{1}{x}&-2\leq x<-1\\\dfrac{x^2-3}{2}&-1\leq x\leq 0\\\end{cases}\)

La función \(\frac{x^2-3}{2}\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) y como el punto \(x=0\) está incluido en ese trozo de la función, \(\frac 1x\) también es continua en el intervalo \(-2\leq x<-1\). Por lo tanto, el único punto de posible discontinuidad es \(x=-1\) (ver continuidad)

Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto

\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\frac{x^2-3}{2}=-1\)

\(\lim\limits_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{-}}\frac{1}{x}=f(-1)=-1\)

Como \(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{-}}f(x)= f(-1)\), la función es continua en \(x=-1\)

De manera que la función es continua en

\(\boxed{[-2,0]}\)

 

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