Pasos para resolver una inecuación
Para resolver una inecuación \(P(x)\leq Q(x)\) se estudian los puntos \(x\in \mathbb{R}\) en los que el signo puede cambiar.
- En primer lugar, se buscan los puntos para los que \(P(x)=Q(x)\) o los puntos que hacen que \(P(x)=\infty\) o \(Q(x)=\infty\)
Ejemplo: \[\frac{x+3}{x-1}>x\]
Se buscan por un lado los \(x\) tales que \(\frac{x+3}{x-1}=x\), es decir \(x+1=x^2-x\Rightarrow x^2-2x-3=0\) es decir \(x=3\) y \(x=-1\). Por otro lado se buscan los \(x\) tales que \(\frac{x+3}{x-1}=\infty\), es decir \(x=1\). - En segundo lugar se escriben los intervalos que hay entre esos puntosEn el ejemplo:\[(-\infty,-1)\quad(-1,1)\quad(1,3)\quad(1,\infty)\]
- Finalmente se coge un punto de cada uno de los intervalos y se comprueba si se cumple la inecuación. La unión de los intervalos en los que se cumple la inecuación es la soluciónEn el ejemplo anterior:
- \(-2\in(-\infty,-1)\) y se cumple que \(\frac{-2+3}{-2-1}>-2\).
- \(0\in(-1,1)\) y NO se cumple que \(\frac{0+3}{0-1}>0\).
- \(2\in(1,3)\) y se cumple que \(\frac{2+3}{2-1}>2\).
- \(4\in(3,\infty)\) y NO se cumple que \(\frac{4+3}{4-1}>4\).
Así, la solución es \(x\in (-1,1)\cup(3,\infty)\).
Si la desigualdad no hubiera sido estricta (es decir < ó >) sino con la igualdad (es decir \(\leq\) ó \(\geq\)), la única diferencia es que los extremos también se incluyen, por ejemplo la solución de \(\frac{x+3}{x-1}\geq x\) es \(x\in [-1,1]\cup[3,\infty)\)
Las inecuaciones aparecen formando un sistema en programación lineal, ver también cómo resolver sistemas de ecuaciones