Definición
Una función es continua en un punto \(x=a\) si coinciden el límite por la izquierda y por la derecha, y además el valor de la función en ese punto, es decir \(\bbox[yellow]{\lim_{x\to a^+}f(x)= \lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)}\)
Discontinuidad
Cuando una función no es continua en un punto se dice que tiene una discontinuidad en ese punto. Las discontinuidades se pueden clasificar de la siguiente manera:
- Discontinuidad evitable: Ocurre cuando \(\lim_{x\to a^+}f(x)= \lim_{x\to a^-}f(x)\neq f(a)\) o no existe \(f(a)\)Ejemplo: \(f(x)=\begin{cases}x+1 &si\; x\neq 3\\0 &si\;x=3\end{cases}\) es continua para todo punto excepto \(x=3\). En ese punto los límites laterales coinciden, pero \(f(3)\) es distinto
- Discontinuidad no evitable (discontinuidad esencial): Ocurre cuando \(\lim_{x\to a^+}f(x)\neq \lim_{x\to a^-}f(x)\), en concreto puede ser:
– De salto finito: cuando ninguno de los límites laterales son infinito.
– De salto infinito: cuando alguno de los límites laterales es infinito.
– De segunda especie: no existe alguno de los dos límites laterales
Continuidad de funciones frecuentes
- Polinomios: Son siempre continuos en todo \(\mathbb R\).
- Cocientes: Puede haber discontinuidad en los valores para los que el denominador es 0 (ver dominio de una función)Ejemplo: la función \(f(x)=\frac1{x-1}\) es discontinua cuando \(x-1=0\) es decir cuando \(x=1\).
- Funciones a trozos: Se estudia la continuidad en cada trozo y además en los puntos en los que la función cambiarEjemplo: para la función \(f(x)=\begin{cases}x^2 &si\;x<2\\ x&si\;x\geq 2\end{cases}\) ambos trozos son continuos porque son polinomios, pero en el punto \(x=2\) los límites laterales son diferentes y por tanto no es continua en ese punto.
La continuidad no implica la derivabilidad, es decir si se tiene una función continua esta función no tiene por qué ser derivable (ver derivabilidad y teoremas de continuidad y derivabilidad)