Ejercicios de Dominio y recorrido I

Ejercicio 1: Hallar el dominio de la siguiente función: \(f(x)=x\sqrt{x-2}\)

Para que existan soluciones reales de \(f(x)\) el interior de la raíz cuadrada ha de ser positivo o cero (ver dominio de una función)

De manera que los puntos que hacen que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo o cero serán los puntos que formarán el dominio de \(f(x)\)

\(\displaystyle x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) serán los puntos mayores que \(2\) (incluido el \(2\)),

\(\boxed{\displaystyle\mathcal{D}=[2,\infty)}\)

Ejercicio 2: Sea \(f(x)=x^3\) y \(g(x)=|x|\). Hallar \(\quad f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\)

Para saber cómo calcular \(f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\) puede consultarse cómo componer funciones

\(f\;o\;g(x)=f(g(x))=f(|x|)=|x|^3\quad\hbox{y}\quad g\;o\;f(x)=g(f(x))=g(x^3)=|x^3|\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f\;o\;g(x)=|x|^3,\qquad g\;o\;f(x)=|x^3|}\)

Ejercicio 3: Sea \(f(x)=\displaystyle\frac{3x}{x-1}\) en el dominio \((1,\infty)\). Calcular \(f^{-1}(x)\)

Para calcular la inversa \(f^{-1}(x)\) se despeja la variable \(x\) en función de \(f(x)\) (ver cómo calcular la inversa de una función)

\((x-1)f(x)=3x\Rightarrow xf(x)-f(x)=3x\)

Agrupando la \(x\) a un lado del igual, se obtiene

\(x(f(x)-3)=f(x)\Rightarrow x=\displaystyle\frac{f(x)}{f(x)-3}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x}{x-3}}\)

 

Ejercicio 4: Hallar el dominio de la siguiente función: \(f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{x-3}\)

Para que existan soluciones reales de \(f(x)\) el denominador ha de ser distinto de cero (ver el dominio de una función)

De manera que los puntos que hacen que el polinomio del denominador sea distinto de cero serán los puntos que formarán el dominio de \(f(x)\)

\(\displaystyle x-3=0\Rightarrow x=3\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) serán todo los puntos de \(\mathbb{R}\) excepto el \(3\),

\(\boxed{\displaystyle\mathcal{D}=(-\infty,3)\cup (3,\infty)}\)

Ejercicio 5: Sea \(f(x)=x^2+3\) y \(g(x)=\sqrt{x}\). Hallar \(\quad f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\)

Para saber cómo calcular \(f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\) puede consultarse cómo componer funciones

\(f\;o\;g(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2+3=x^2+3\quad\hbox{y}\quad g\;o\;f(x)=g(f(x))=g(x^2+3)=\sqrt{x^2+3}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f\;o\;g(x)=x^2+3,\qquad g\;o\;f(x)=\sqrt{x^2+3}}\)

Ejercicio 6: Sea \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x-2}\) en el dominio \((-\infty,2)\cup (2,\infty)\). Calcular \(f^{-1}(x)\)

El método para hallar la inversa \(f^{-1}(x)\) es despejar la variable \(x\) en función de \(f(x)\) (ver cómo calcular la inversa de una función)

\((x-2)f(x)=x\Rightarrow xf(x)-2f(x)=x\)

Agrupando las \(x\) a un lado del igual y sacando factor común, se obtiene

\(x(f(x)-1)=2f(x)\Rightarrow x=\displaystyle\frac{2f(x)}{f(x)-1}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{2x}{x-1}}\)

 

Ejercicio 7: Hallar el dominio de la siguiente función: \(f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x(x-3)}\)

Para que existan soluciones reales de \(f(x)\) el denominador ha de ser distinto de cero (ver el dominio de una función)

De manera que los puntos que hacen que el polinomio del denominador sea distinto de cero serán los puntos que formarán el dominio de \(f(x)\)

\(\displaystyle x(x-3)=0\Rightarrow x=0,\; x=3\)

De forma que el dominio de \(f(x)\) serán los números reales excepto el \(0\) y el \(3\),

\(\boxed{\displaystyle\mathcal{D}=(-\infty,0)\cup (0,3)\cup (3,\infty)}\)

Ejercicio 8: Sea \(f(x)=\sqrt{x}\) y \(g(x)=x^2\). Hallar \(\quad f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\)

Para saber cómo calcular \(f\;o\;g(x)\) y \(g\;o\;f(x)\) puede consultarse cómo componer funciones

\(f\;o\;g(x)=f(g(x))=f(x^2)=\sqrt{x^2}=x\quad\hbox{y}\quad g\;o\;f(x)=g(f(x))=g((\sqrt{x})^2)=x\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f\;o\;g(x)=x=g\;o\;f(x)}\)

Ejercicio 9: Sea \(f(x)=\displaystyle\frac{x+3}{x-2}\) en el dominio \((2,\infty)\). Calcular \(f^{-1}(x)\)

Para calcular la inversa \(f^{-1}(x)\) se despeja la variable \(x\) en función de \(f(x)\) (ver cómo calcular la inversa de una función)

\((x-2)f(x)=x+3\Rightarrow xf(x)-2f(x)=x+3\)

Agrupando la \(x\) a un lado del igual, se obtiene

\(x(f(x)-1)=3+2f(x)\Rightarrow x=\displaystyle\frac{3+2f(x)}{f(x)-1}\)

De forma que el resultado final es

\(\boxed{f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{3+2x}{x-1}}\)

 

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