Ejercicios de derivadas VIII

Ejercicio 14: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=4(3x-5)^4\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una potencia), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle 48{(3x-5)^3}}\)

Ejercicio 15: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\cos\frac{1}{x}\)

Utilizando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}}\)

Ejercicio 16: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=3\cos(\pi x^2)\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -6x\pi\sin(\pi x^2)}\)

Ejercicio 17: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\tan(\pi x-\pi)\)

Con la ayuda de la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de esta función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle \pi\sec^2(\pi x-\pi)}\)

Ejercicio 18: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\sin x}\)

La función puede reescribirse en forma de potencia \(f(x)=(\sin x)^{\frac{1}{2}}\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto las derivadas de funciones trigonométricas y la derivada de una potencia), se tiene que la derivada de esta función es:

\( f'(x)=\frac{1}{2}(\sin x)^{-\frac{1}{2}} \cos x=\boxed{\displaystyle \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}\)

 

Ejercicio 19: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=e^{\cos x}\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de una exponencial y la de funciones trigonométricas), se tiene que:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle -\sin xe^{\cos x}}\)

Ejercicio 20: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln (x^2+3) \)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un logaritmo), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle\frac{2x}{x^2+3}}\)

Ejercicio 21: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=e^{3x^2+2} \)

Consultando tabla de derivadas (en concreto la derivada de funciones trigonométricas y de la función exponencial), se obtiene:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle 6xe^{3x^2+2}}\)

Ejercicio 22: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\frac{e^{3x}}{\cos x}\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente, de funciones trigonométricas y de la función exponencial), se obtiene:

\( f'(x)=\frac{3e^{3x}\cos x+e^{3x}\sin x}{(\cos x)^2}=\boxed{\displaystyle\frac{e^{3x}(3\cos x+\sin x)}{(\cos x)^2}}\)

Ejercicio 23: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\sin(x^2)\ln (\cos x)\)

Consultando en la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un producto, la derivada de un logaritmo y de funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de la función es:

\( f'(x)=\boxed{\displaystyle 2x\cos(x^2)\ln(\cos x)-\frac{\sin x}{\cos x}\sin (x^2)}\)

 

Ejercicio 24: Calcular la derivada de la siguiente función \(\displaystyle f(x)=\ln (\frac{\sin x}{x})\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (en concreto la derivada de un cociente, la derivada de un logaritmo y de funciones trigonométricas), se tiene que:

\( f'(x)=\displaystyle\frac{\frac{x\cos x+\sin x}{x^2}}{\frac{\sin x}{x}}=\boxed{\displaystyle \frac{x\cos x+\sin x}{x\sin x}}\)

Ejercicio 25: Dadas las funciones \(f(x)=\frac{x^2+3}{x}\) y \(g(x)=\ln (x^3)\)\, escribir la función \(g\; o\; f\) y calcular su derivada

La composición de las dos funciones, \(g\; o\; f\) es (ver cómo se hace la composición de funciones):

\(g\; o\; f(x)=g(f(x))=g(\frac{x^2+3}{x})=\ln (\frac{x^2+3}{x})^3\)

Con ayuda de la tabla de derivadas (mirando la derivada de un logaritmo y de un cociente), se tiene que la derivada de la composición es:

\( (g\; o\; f)'(x)=\displaystyle \frac{3(\frac{x^2+3}{x})^2\frac{2x^2-(x^2)-3}{x^2}}{(\frac{x^2+3}{x})^3}=\boxed{\displaystyle \frac{3(\frac{x^2+3}{x})^2\frac{x^2-3}{x^2}}{(\frac{x^2+3}{x})^3}}\)

Ejercicio 26: Dadas las funciones \(f(x)=x^2+\sin x\) y \(g(x)=e^{x+3}\)\, escribir la función \(g\; o\; f\) y calcular su derivada

La composición de las dos funciones, \(g o f\) es (ver cómo se hace la composición de funciones):

\(g\; o\; f(x)=g(f(x))=g(x^2+\sin x)=e^{x^2+\sin x}\)

Mirando la tabla de derivadas (en concreto la derivada de la exponencial y de las funciones trigonométricas), se tiene que la derivada de la composición es:

\( (g\; o\; f)'(x)=\boxed{\displaystyle (2x+\cos x)e^{x^2+\sin x}}\)

 

 

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