\[\]Ejercicio 1: Hallar las soluciones reales de la siguiente ecuación \(\sqrt{x-1}-\sqrt{x}=5\)
\(\sqrt{x-1}^2 =(5+\sqrt{x})^2\Rightarrow\)
\(x-1=25+(\sqrt{x})^2 +10\sqrt{x}\)
Agrupando términos
\(-26= 10\sqrt{x}\)
Despejando la x,
\(\bbox[yellow]{x= (\frac{26}{10})^2}\)
Ejercicio 2: Hallar las soluciones reales de la siguiente ecuación \(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}=9\)
\(\sqrt{x+9}=9-\sqrt{x}\Rightarrow\)
Elevando al cuadrado en los dos lados de la ecuación,
\((\sqrt{x+9})^2=(9-\sqrt{x})^2\Rightarrow\)
\(x+9=81+x-18\sqrt{x}\Rightarrow\)
Agrupando las x y elevando al cuadrado en el último paso se obtiene el resultado,
\(72=18\sqrt{x}\Rightarrow 4=\sqrt{x}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=16}\)
\[\] Ejercicio 3: Hallar las soluciones reales de la siguiente ecuación \(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=3\)
Pasando una raíz al otro lado de la igualdad,
\(\sqrt{x+3}=3-\sqrt{x-3}\),
elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación, se obtiene
\(x+3=9+(x-3)-6\sqrt{x-3}\Rightarrow 9=6\sqrt{x-3}\),
elevando de nuevo al cuadrado a ambos lados de la igualdad,
\( \frac{9}{6}=\sqrt{x-3}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=\frac{21}{4}}\)
\[\]Ejercicio 4: Hallar las soluciones de la siguiente ecuación \(2^{x^2+5x-4}. 4^{2x+3}=8^{x-1}\)
Convirtiendo cada factor de la ecuación en una potencia de 3,
\(2^{x^2+5x-4}2^{2(2x+3)}=2^{3(x-1)}\),
sumando los exponentes,
\(2^{x^2+5x-4+2(2x+3)}=2^{3(x-1)}\).
Igualando ahora los exponentes,
\(x^2+5x-4+2(2x+3)=3(x-1)\Rightarrow\)
\(x^2+6x+5=0\)
Calculando las soluciones del polinomio (ver cómo resolver polinomios),
\(x=\frac{-6\pm\sqrt{36-20}}{4}=\frac{-6\pm 4}{2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=-1,x=-5}\)
\[\]Ejercicio 5: Calcular la solución de la siguiente ecuación \(5. 2^{4x-1}+2^{2x+1}-1=0\)
Reescribiendo la ecuación,
\(\frac{5. 2^{4x}}{2}+2. 2^{2x}-1=0\),
multiplicando por \(2\) a todos los términos,
\(5. 2^{4x}+4. 2^{2x}-4=0\).
Haciendo el cambio de variables \(y=2^{2x}\),
\(5y^2+4y-4=0\),
resolviendo el polinomio de segundo grado (ver cómo resolver polinomios), se obtiene
\(y=0.57979589711, y=-1.37979589711\).
Deshaciendo el cambio de variable,
\(y=0.57979589711=2^{2x}\),
tomando logaritmos a ambos lados de la igualdad, \(\log 0.57979589711=\log 2^{2x}\),
usando las propiedades de los logaritmos (ver propiedades de los logaritmos) y despejando la x,
\(2x\log 2= \log 0.57979589711\Rightarrow x=\frac{\log 0.57979589711}{2\log 2}\Rightarrow\bbox[yellow]{x=-0.39319148528}\)
El caso \(y=-1.37979589711\) no tiene solución ya que no es posible que exista una x tal que \(-1.37979589711=2^{2x}\)
\[\] Ejercicio 6: Hallar las soluciones de \(\log (x^2-6x+2)=1+\log(2x-1)\)
Se escriben todos los términos como logaritmos,
\(\log (x^2-6x+2)=\log 10+\log(2x-1)\),
utilizando las propiedades de los logaritmos (ver propiedades de los logaritmos) se agrupan términos,
\(\log (x^2-6x+2)=\log 10(2x-1)\Rightarrow (x^2-6x+2)=10(2x-1)\).
Resolviendo el polinomio resultante (ver cómo resolver polinomios) se obtiene el resultado,
\(x^2-14x+12=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=13.08,x=0.91}\)
\[\] Ejercicio 7: Hallar las soluciones reales de \(\log(x^2+17)=2+\log(3x-5)\)
Se escriben todos los términos como logaritmos,
\(\log(x^2+17)=\log 100+\log(3x-5)\),
aplicando una propiedad de los logaritmos (ver propiedades de los logaritmos),
\(\log(x^2+17)=\log 100(3x-5)\),
quitando logaritmos (tomando exponenciales a ambos lados de la ecuación) se obtiene un polinomio (ver cómo resolver polinomios),
\(x^2+17=100(3x-5)\Rightarrow x^2-300x+517=0\Rightarrow\bbox[yellow]{x=298.26, x=1.73}\)
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