\[\]Ejercicio 1: (Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real \(\lambda\):
\(\displaystyle\begin{cases}2x-\lambda y+z=-\lambda&\\4x-2\lambda y+2z=\lambda -3&\\\end{cases}\)
a) Determínense los valores del parámetro real \(\lambda\) que hacen que el sistema sea incompatible
b) Resuélvase el sistema para \(\lambda=1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, primeramente se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada. Como en este caso la matriz \(A\) es de \(2×3\), el rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que dos y es suficiente con buscar los menores \(2×2\) e igualar sus determinantes a cero.
Los únicos menores cuyo determinante está escrito en función del parámetro \(\lambda\) son los siguientes (el resto de menores \(2×2\) tienen determinante cero), recordar cómo se resuelven determinantes:
\(\begin{array}{|crl|}2 &-\lambda\\ 4& \lambda -3\end{array}=3\lambda -3= 0\Rightarrow \lambda -1=0\Rightarrow \lambda= 1\)
\(\begin{array}{|crl|}-\lambda &-\lambda\\ -2\lambda& \lambda -3\end{array}=3\lambda(1-\lambda)= 0\Rightarrow \lambda=0, \lambda= 1\)
y
\(\begin{array}{|crl|}1 &-\lambda\\ 2& \lambda -3\end{array}=3\lambda -3= 0\Rightarrow \lambda -1=0\Rightarrow \lambda= 1\)
Por lo tanto,
– Si \(\lambda\neq 1\), \(\Rightarrow\hbox{El rango de }A=1\neq\hbox{ el rango de }A^{*}=2\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es incompatible si }\lambda\neq 1}\)
– Si \(\lambda=1\), \(\Rightarrow\hbox{ el rango de }A =\neq\hbox{ el rango de }A^{*}=1\Rightarrow\hbox{si }\lambda=1,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}\)
b) Para \(\lambda=1\), el sistema es compatible indeterminado, así que tendrá infinitas soluciones y se puede resolver dando dos parámetro como valores a dos de las incógnitas y escribiendo la otra en función de dichos parámetros.
\(\displaystyle\begin{cases}2x-y+z=-1&\\4x-2y+2z=-2&\\\end{cases}\)
Dando a la \(x\) el valor \(\nu\) y a la \(z\) el valor \(\mu\), se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{x=\nu,\;\; y=1+2\nu+\mu,\;\; z=\mu}\)
\[\]Ejercicio 1:(Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)
Considérese la matriz \(A=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}.\)
a) Calcúlense \((A.A^{t})^{200}\)
b) Calcúlense \((A.A^{t}-3I)^{-1}\)
Nota: \(A^{-1}\) denota a la traspuesta de la matriz \(A\). \(I\) es la matriz identidad de orden 3
a) Consultando cómo multiplicar matrices, y cómo calcular la transpuesta de una matriz, se tiene
\(A.A^{t}=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}\)
Y \((A.A^{t})^2=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{(A.A^{t})^{200}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}}\)
b) Recordando cómo restar matrices y teniendo en cuenta el apartado a), se obtiene
\(A.A^{t}-3I=\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 0&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1 &0&0\\ 0& 1&0\\ 0& 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 &0&0\\ 0& -3&0\\ 0& 0&-2\end{pmatrix}\)
Consultando cómo calcular la inversa de una matriz se tiene el resultado:
\(\bbox[yellow]{(A.A^{t}-3I)^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac 12 &0&0\\ 0& -\frac 13&0\\ 0& 0&-\frac 12\end{pmatrix}}\)
\[\]Ejercicio 1:(Junio 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Sean las matrices \(A=\begin{pmatrix}2 &1\\ -1& 0\\ 1& -2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3 &1\\ 0& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}\)
a) Calcúlense \((A^{t}B)^{-1}\), donde \(A^{t}\) denota a la traspuesta de la matriz \(A\)
b) Resuélvase la ecuación matricial \(A.\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\)
a) Consultando cómo escribir la traspuesta de una matriz, se tiene
\(A^{t}B=\begin{pmatrix}2 &-1&1\\ 1& 0&-2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3 &1\\ 0& 2\\ -1& 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 &0\\ 5& 1\end{pmatrix}\Rightarrow \bbox[yellow]{(A^{t}B)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac 15 &0\\ -1& 1\end{pmatrix}}\)
b) Escribiendo la ecuación matricial y recordando cómo operar con matrices, se tiene,
\(\begin{pmatrix}2 &1\\ -1& 0\\ 1& -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}2x+y=0&\\-x=-1& \\x-2y=5&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}x=1&\\y=-2\\\end{cases}}\)
Ejercicio 2:(Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real \(a\):
\(\displaystyle\begin{cases}x+y+az=2&\\3x+4y+2z=a& \\2x+3y-z=1&\\\end{cases}\)
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de \(a\)
b) Resuélvase el sistema en el caso \(a=-1\)
a) Para discutir el sistema de ecuaciones, se calcula el rango de la matriz asociada al sistema así como el rango de la matriz ampliada, consultar el estudio de un sistema de ecuaciones a través del rango de la matriz asociada
\(A=\begin{pmatrix}1 &1&a\\ 3&4& 2\\ 2&3& -1\end{pmatrix}\quad\) y \(\quad A^{*}=\begin{pmatrix}1 &1&a&2\\ 3&4& 2&a\\ 2&3& -1&1\end{pmatrix}\)
El rango de \(A\) y de \(A^{*}\) no puede ser mayor que tres
Recordando cómo se resuelven determinantes, se tiene \(|A|=a-3=0\Rightarrow a=3\)
– Si \(a\neq 3\), \(|A|\neq 0\Rightarrow\hbox{El rango de }A=\hbox{ el rango de }A^{*}=3=\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{el sistema es compatible determinado si }a\neq 3}\)
– Si \(a=3\), \(|A|=0\). Encontrando además el menor tal que \(\begin{array}{|crl|}1 &1\\ 3& 4\end{array}=1\neq 0\Rightarrow A\hbox{ tiene rango }2\)
En la matriz \(A^{*}\) todos los menores \(3\times 3\) tienen determinante cero, por lo tanto, se concluye en este caso que \(\hbox{ el rango de }A =\hbox{ rango de }A^{*}<\hbox{n. de variables en el sistema}\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{si }a=3,\hbox{El sistema es compatible indeterminado}}\)
b) Para \(a=-1\), el sistema es compatible determinado, consultando cómo se resuelven sistemas de ecuaciones, se concluye el resultado,
\(\begin{cases}x+y-z=2&\\3x+4y+2z=-1& \\2x+3y-z=1&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{\begin{cases}x=3&\\y=-2& \\z=-1&\\\end{cases}}\)