Ejercicios de Límites V

Ejercicio 9: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{8x+1}{4x}=\frac{\infty}{\infty}\)

Es necesario aplicar de nuevo la Regla de L'Hôpital ya que se ha llegado a otra indeterminación (ver indeterminaciones); de manera que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{8}{4}=\boxed{2}\)

Ejercicio 10: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5x+7}{13x^3+x+1}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5x+7}{13x^3+x+1}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5x+7}{13x^3+x+1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5}{39x^2+1}=\boxed{0}\)

Ejercicio 11: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{e^x-1}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{e^x-1}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{e^x-1}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{3x^2-2}{e^x}=\frac{-2}{1}=\boxed{-2}\)

Ejercicio 12: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin^2x}{x^2}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin^2x}{x^2}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin^2x}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\sin x\cos x}{2x}=\frac{0}{0}\)

Es necesario hacer nuevamente LHOPIT ya que se ha obtenido otra indeterminación (ver indeterminaciones),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\sin x\cos x}{2x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\cos^2x-2\sin^2x}{2}=\frac{-2}{1}=\boxed{1}\)

Ejercicio 13: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{\cos x}=\boxed{0}\)

Ejercicio 14: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x-\sqrt{x+6}}{x-3}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x-\sqrt{x+6}}{x-3}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x-\sqrt{x+6}}{x-3}=\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}}{1}=\boxed{\frac{5}{6}}\)

Ejercicio 15: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}\)

Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Aplicando la Regla de L'Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2x e^{x^2}}{-\sin x}=\frac{0}{0}\)

Es necesario aplicar de nuevo la Regla de L'Hôpital ya que ha resultado otra indeterminación(ver indeterminaciones), de forma que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2xe^{x^2}}{-\sin x}=\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2xe^{x^2}+4x^2e^{x^2}}{-\cos x}=\boxed{-2}\)

 

Ejercicio 16: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}\)

Reescribiendo el límite queda:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{x^3})^{4x^3}\)

Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{x^3})^{4x^3}=\lim\limits_{x \to \infty}\displaystyle\Big(\big(1+\frac{1}{\frac{x^3}{2}}\big)^{\frac{x^3}{2}}\Big)^{\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}}\)

Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{x^3}{2}})^{\frac{x^3}{2}}=e\)

y

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}=8\)

El resultado final es:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\boxed{e^8}\)

Ejercicio 17: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{2x}\)

Reescribiendo el límite queda:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{2x}=\lim\limits_{x \to \infty}(1-\frac{2}{2x+1})^{2x}\)

Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1-\frac{2}{2x+1})^{2x}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\big(1+\frac{1}{\frac{-(2x+1)}{2}}\big)^{\frac{-(2x+1)}{2}}\Big)^{\frac{2x}{\frac{-(2x+1)}{2}}}\)

Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{-(2x+1)}{2}})^{\frac{-(2x+1)}{2}}=e\)

y que (usando la Regla de L'Hôpital)

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2x}{\frac{-(2x+1)}{2}}=-2\)

El resultado final es:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{2x}=e^{-2}=\boxed{\frac{1}{e^2}}\)

Ejercicio 18: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{5x}\)

Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{5x}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}((1+\frac{1}{3x})^{3x})^{\frac{5x}{3x}}\)

Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{3x}=e\)

y que (usando la Regla de L'Hôpital)

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{5x}{3x}=\frac{5}{3}\)

El resultado final es:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{5x}=\boxed{e^{\frac{5}{3}}}\)

 

 

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