\[\] Ejercicio 9: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}=\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{8x+1}{4x}=\frac{\infty}{\infty}\)
Es necesario aplicar de nuevo la Regla de L’Hôpital ya que se ha llegado a otra indeterminación (ver indeterminaciones); de manera que
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{4x^2+x+3}{2x^2+1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{8}{4}=\bbox[yellow]{2}\)
\[\] Ejercicio 10: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5x+7}{13x^3+x+1}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5x+7}{13x^3+x+1}=\frac{\infty}{\infty}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5x+7}{13x^3+x+1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{-5}{39x^2+1}=\bbox[yellow]{0}\)
\[\] Ejercicio 11: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{e^x-1}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{e^x-1}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene el resultado final
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{e^x-1}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{3x^2-2}{e^x}=\frac{-2}{1}=\bbox[yellow]{-2}\)
\[\] Ejercicio 12: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin^2x}{x^2}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin^2x}{x^2}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin^2x}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\sin x\cos x}{2x}=\frac{0}{0}\)
Es necesario hacer nuevamente LHOPIT ya que se ha obtenido otra indeterminación (ver indeterminaciones),
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\sin x\cos x}{2x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{2\cos^2x-2\sin^2x}{2}=\frac{-2}{1}=\bbox[yellow]{1}\)
\[\] Ejercicio 13: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{\cos x}=\bbox[yellow]{0}\)
\[\] Ejercicio 14: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x-\sqrt{x+6}}{x-3}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x-\sqrt{x+6}}{x-3}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x-\sqrt{x+6}}{x-3}=\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}}{1}=\bbox[yellow]{\frac{5}{6}}\)
\[\] Ejercicio 15: Resolver el siguiente límite utilizando la Regla de L’Hôpital \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}\)
Sustituyendo primeramente el valor en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=\frac{0}{0}\)
que es una indeterminación (ver indeterminaciones).
Aplicando la Regla de L’Hôpital, ver también la tabla de derivadas, y sustituyendo el valor de la \(x\) en el límite, se obtiene
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2x e^{x^2}}{-\sin x}=\frac{0}{0}\)
Es necesario aplicar de nuevo la Regla de L’Hôpital ya que ha resultado otra indeterminación(ver indeterminaciones), de forma que
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2xe^{x^2}}{-\sin x}=\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{2xe^{x^2}+4x^2e^{x^2}}{-\cos x}=\bbox[yellow]{-2}\)
\[\] Ejercicio 16: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}\)
Reescribiendo el límite queda:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{x^3})^{4x^3}\)
Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{x^3})^{4x^3}=\lim\limits_{x \to \infty}\displaystyle\Big(\big(1+\frac{1}{\frac{x^3}{2}}\big)^{\frac{x^3}{2}}\Big)^{\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}}\)
Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{x^3}{2}})^{\frac{x^3}{2}}=e\)
y
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{4x^3}{\frac{x^3}{2}}=8\)
El resultado final es:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^3+2}{x^3})^{4x^3}=\bbox[yellow]{e^8}\)
\[\] Ejercicio 17: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{2x}\)
Reescribiendo el límite queda:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{2x}=\lim\limits_{x \to \infty}(1-\frac{2}{2x+1})^{2x}\)
Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1-\frac{2}{2x+1})^{2x}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\Big(\big(1+\frac{1}{\frac{-(2x+1)}{2}}\big)^{\frac{-(2x+1)}{2}}\Big)^{\frac{2x}{\frac{-(2x+1)}{2}}}\)
Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{-(2x+1)}{2}})^{\frac{-(2x+1)}{2}}=e\)
y que (usando la Regla de L’Hôpital)
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{2x}{\frac{-(2x+1)}{2}}=-2\)
El resultado final es:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{2x}=e^{-2}=\bbox[yellow]{\frac{1}{e^2}}\)
\[\] Ejercicio 18: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{5x}\)
Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{c_n \to \infty}(1+\frac{1}{c_n})^{c_n}=e\) (ver propiedades de los límites) se reescribe el límite para que aparezca el número \(e\),
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{5x}=\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}((1+\frac{1}{3x})^{3x})^{\frac{5x}{3x}}\)
Utilizando las propiedades de los límites y sabiendo que
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{3x}=e\)
y que (usando la Regla de L’Hôpital)
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}\frac{5x}{3x}=\frac{5}{3}\)
El resultado final es:
\(\displaystyle\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{3x})^{5x}=\bbox[yellow]{e^{\frac{5}{3}}}\)
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