Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos)
a) (1 pto) Calcula los límites:
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}\qquad\) y \(\qquad\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}\)
b) (1 pto) Calcula la integral \(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{1+3x^2}dx\)
c) (1 pto) Halla el dominio de definición de la función \(f(x)=\sqrt{x^2-9x+14}\). Halla el conjunto de puntos donde la función tiene derivada
a) Para resolver los límites, consultar la teoría de cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}=\frac{2}{4+e^{-(\infty+1)}}=\frac{2}{4+0}=\bbox[yellow]{\frac 12}\)
\(\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2}{4+e^{-(x+1)}}=\frac{2}{4+e^{-(-\infty+1)}}=\frac{2}{4+\infty}=\bbox[yellow]{0}\)
b) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene
\(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{1+3x^2}dx=\displaystyle\frac 16\int_0^1\frac{6x}{1+3x^2}dx=\frac 16\ln |1+3x^2|\Big]_0^1=(\frac 16\ln |1+3.1^2|)-(\frac 16\ln |1+3.0^2|)=\bbox[yellow]{\frac 16\ln 4}\)
c) El dominio de la función serán todos los números que hagan que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo, ver dominio de una función y consultar también cómo resolver polinomios, en este caso \(x^2-9x+14= 0\Rightarrow x=2\) y \(x=7\)
Estudiando el signo de \(x^2-9x+14\) antes y después de los valores obtenidos, se tiene que \(x^2-9x+14\) es positivo antes de \(x=2\) y después de \(x=7\), mientras que en el intervalo entre \(2\) y \(7\) es negativo (y en \(2\) y \(7\) toma el valor cero)
Por lo tanto, el dominio será \(\bbox[yellow]{x\in (-\infty,2]\cup [7,\infty)}\)
Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
a) (1 pto) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de \(f(x)=-\sin x\) y el eje \(OX\) entre las abscisas \(x=0\) y \(x=2\pi\)
b) (1 pto) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de \(f(x)=-\sin x\) alrededor del eje \(OX\) entre las abscisas \(x=0\) y \(x=2\pi\)
a) Para hallar el área pedida y teniendo en cuenta la gráfica de la función \(f(x)\), ver funciones elementales, se dividirá la integral en dos (correspondiendo a las regiones simétricas de la gráfica de la función: de \(0\) a \(\pi\) y de \(\pi\) a \(2\pi\)), ver cómo se calcula una integral definida
\(A=\Big|\displaystyle\int_0^{\pi}-\sin xdx\Big|+\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=2\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}-\sin xdx=2\cos x\Big]_{\pi}^{2\pi}=2\cos 2\pi-2\cos\pi=\bbox[yellow]{4}\)
b) El volumen de revolución al hacer girar el área bajo la curva \(f(x)\) en el intervalo \([a,b]\) alrededor del eje \(OX\) viene dado por la expresión, ver áreas y volúmenes
\(V=\displaystyle\int_a^{b}\pi(f(x))^2dx=\displaystyle\int_0^{2\pi}\pi(\sin x)^2dx=\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^2 xdx\)
Teniendo en cuenta que \(\sin ^2x=\frac 12(1-\cos 2x)\), ver ecuaciones trigonométricas, se tiene
\(V=\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac 12(1-\cos 2x)dx=\frac{\pi}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})\Big]_0^{2\pi}=\frac{\pi}{2}\Big[(2\pi-\frac{\sin 4\pi}{2})-(0-\frac{\sin 0}{2})\Big]=\bbox[yellow]{\pi^2}\)
Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción B)(Calificación: 2 ptos)
Dada la función: \(\displaystyle\begin{cases}e^{\frac 1x}&x<0\\ k&x=0\\ \frac{\cos x-1}{\sin x}&x>0\\\end{cases}\)
hallar el valor de \(k\) para que la función sea continua en \(x=0\). Justificar la respuesta
La función está formada por un polinomio, una constante y por la función \(\frac{\cos x-1}{\sin x}\), luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre estos dos polinomios, \(x=0\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x-1}{\sin x}=\frac 00\)
De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite (ver cómo resolver límites), se utiliza la Regla de L’Hôpital (ver la Regla de L’Hôpital y la tabla de derivadas),
\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\cos x-1}{\sin x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{-\sin x-0}{\cos x}=\frac{-\sin 0}{\cos 0}=0\)
Calculando el otro límite lateral y el valor de la función en el punto, queda
\(\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}e^{\frac 1x}=e^{\frac{1}{0^{-}}}=e^{-\infty}=0=f(0)=k\)
Luego, para que la función sea continua en \(0\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(\bbox[yellow]{k=0}\)