Estadística en Selectividad 2014

Ejercicio : (Septiembre 2014 Opción A)(Calificación: 2 ptos)

La estatura en centímetros (cm) de los varones mayores de edad de una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma= 16\) cm.

1. Se tomó una muestra aleatoria simple de 625 individuos obteniéndose una media muestral \(x = 169\) cm. Hállese un intervalo de confianza al 98 % para \(\mu\).
2. ¿Cuál es el mínimo tamaño muestral necesario para que el error máximo cometido en la estimación de \(\mu\) por la media muestral sea menor que 4 cm, con un nivel de confianza del 90 %?

1. Para recordar la fórmula del intervalo de confianza revisar la teoría de estadística,

\(\hbox{IC}= (\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, \bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt n})\)

con \(\bar{x}=169\), \(\sigma=16\), \(n=625\) y \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,325\), por lo tanto,

\(\hbox{IC}= (169-2,325\dfrac{16}{\sqrt{625}}, 169+2,325\dfrac{16}{\sqrt{625}}=\boxed{(167, 512; 170, 488)}\)

2. El error máximo viene dado por la siguiente expresión \(E=z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\), ver teoría de estadística, por lo tanto se tiene

\(4=1,645\dfrac{16}{\sqrt n}\Rightarrow\boxed{n=25}\)

Ejercicio :(Septiembre 2014 Opción B)(Calificación: 2 ptos)

El mínimo tamaño muestral necesario para estimar la media de una determinada característica de una población que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica \(\sigma\), con un error máximo de 3,290 y un nivel de confianza del 90 %, supera en 7500 unidades al que se necesitaría si el nivel de confianza fuera del 95 % y el error máximo fuera de 7,840.
Exprésense los tamaños muestrales en función de la desviación típica \(\sigma\) y calcúlense la desviación típica de la población y los tamaños muestrales respectivos

Nota:Utilícese \(z_0,05 = 1, 645\)

Sabiendo la fórmula del error de estimación, se tiene que

\(E=z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

Por lo tanto,

\(3,290=1,645\frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}\Rightarrow \boxed{n_1=0,25\sigma ^2}\)
y
\(7,840=1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n_2}}\Rightarrow \boxed{n_2=0,0625\sigma ^2}\)

Como el enunciado dice que el tamaño muestral \(n_1\) supera en 7500 al tamaño muestral \(n_2\), por lo tanto

\(n_1=n_2+7500\Rightarrow 0,25\sigma ^2= 0,0625\sigma ^2 + 7500\Rightarrow \boxed{\sigma= 200}\)

Por lo tanto, \(n_1=0,25.(200)^2\) y \(n_2=0,0625.(200)^2\). Así que \(\boxed{n_1=10000}\) y \(\boxed{n_2=2500}\)

 

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