Ejercicio :(Junio 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
La longitud, en milímetros (mm), de los individuos de una determinada colonia de gusanos de seda se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida \(\mu\) y desviación típica igual a \(3\) mm
a) Se toma una muestra aleatoria simple de \(48\) gusanos de seda y se obtiene una media muestral igual a \(36\) mm. Determínese un intervalo de confianza para la media poblacional de la longitud de los gusanos de seda con un nivel de confianza del \(95\)%
b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el error máximo cometido en la estimación de \(\mu\) por la media muestral menor o igual que \(1\) mm con un nivel de confianza del \(90\)%
a) Por los datos del enunciado, siendo \(X\) la variable que mide los Mb descargados mensualmente, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(36, \frac{3}{\sqrt{48}})\), ver estadística
El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), ver la tabla de la normal
Por lo tanto,
\(IC=(36-1,96\frac{3}{\sqrt{48}},36+1,96\frac{3}{\sqrt{48}})=\bbox[yellow]{(35,151;\; 36,849)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido, ver teoría de estadística
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\frac{3}{\sqrt{48}}\Rightarrow \bbox[yellow]{E=0,849}\)
En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,95\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando de nuevo la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645\)
Por lo tanto, \(1=1,645\frac{3}{\sqrt{n}}\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 24,35}\)
Ejercicio :(Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
El consumo mensual de leche (en litros) de los alumnos de un determinado colegio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma=3\) litros
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza \((16,33;\; 19,27)\) para estimar \(\mu\), con un nivel de confianza del \(95\)%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida
b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(64\). Calcúlese el erros máximo cometido en la estimación de \(\mu\) mediante la media muestral con un nivel de confianza del \(95\)%
a) El intervalo de confianza viene dado por la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), ver la tabla de la normal
Por lo tanto,
\((16,33;\; 19,27)\Rightarrow \bar{x}=\frac{16,33+19,27}{2}=17,8\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,47\)
Teniendo en cuenta que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\Rightarrow 1,47=1,96\frac{3}{\sqrt{n}}\Rightarrow\bbox[yellow]{n=16}\)
b) El error máximo permitido viene dado por la siguiente expresión, ver teoría de estadística
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\frac{3}{\sqrt{64}}\Rightarrow \bbox[yellow]{E=0,735}\)