Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se dispone de cinco cajas opacas. Una contiene una bola blanca, dos contienen una bola negra y las otras dos están vacías. Un juego consiste en ir seleccionando al azar y secuencialmente una caja no seleccionada previamente hasta obtener una que contenga una bola. Si la bola de la caja seleccionada es blanca, el jugador ganar; si es negra, el jugador pierde
a) Calcúlese la probabilidad de que el jugador gane
b) Si el jugador ha perdido, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado una sóla caja?
Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:
\(B\equiv\) Bola blanca
\(N\equiv\) Bola negra
\(V\equiv\) Urna vacía
\(G\equiv\) Ganar el juego
Los datos que da el enunciado son los siguientes
\(P(B)=\frac{1}{5}\)
\(P(N)=\frac{2}{5}\)
\(P(V)=\frac 25\)
\(P(B|V)=\frac 14\)
\(P(V|V)=\frac 14\)
\(P(B|V\cap V)=\frac 13\)
a) La probabilidad de ganar será la probabilidad de ganar habiendo sacado la bola blanca de la primera caja, más la probabilidad de que la primera caja estuviera vacía y haber sacado la bola blanca en la segunda caja y más la probabilidad de que las dos primeras cajas escogidas estuvieran vacías y haber sacado la bola blanca finalmente de la tercera caja, ver la teoría de la probabilidad
\(P(G)=P(B\cup(V\cap B)\cup (V\cap\cap V \cap B))=P(B)+P(V\cap B)+P(V\cap V\cap B)=P(B)+P(V).P(V|V).P(B|V\cap V)=\frac 15+\frac 25.\frac 14+\frac 25.\frac 14.\frac 13=\bbox[yellow]{\frac 13}\)
b) La probabilidad de que el jugador haya seleccionado una sóla caja sabiendo que ha ganado el juego será una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada
\(P(N|\bar{G})=\frac{P(N\cap \bar{G})}{P(\bar{G})}=\frac{P(N)}{1-P(G)}=\frac{\frac 25}{1-\frac 13}=\bbox[yellow]{\frac 35}\)
Ejercicio : (Septiembre 2012 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se consideran dos sucesos \(A\) y \(B\) tales que:
\(P(A)=\frac 13\qquad\)\(\qquad P(B|A)=\frac 14\qquad\)\(\qquad P(A\cup B)=\frac 12\qquad\)
Calcúlense razonadamente:
a) \(P(A\cap B)\)
b) \(P(B)\)
c) \(P(\bar{B}|A)\)
d) \(P(\bar{A}|\bar{B})\)
a) Teniendo en cuenta el Teorema de la probabilidad total, ver la teoría de la probabilidad, se tiene
\(P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=\frac 13.\frac 14=\bbox[yellow]{\frac{1}{12}}\)
b) Sabiendo \(P(A)\) y \(P(A\cap B)\), se puede despejar el dato pedido,
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)=\frac 12+\frac{1}{12}-\frac 13=\bbox[yellow]{\frac 14}\)
c) Aplicando el Teorema de Bayes, ver probabilidad condicionada y teniendo en cuenta que \(\bar{B}\cap A=A-(B\cap A)\), se obtiene
\(P(\bar{B}|A)=\frac{P(\bar{B}\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)-P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac 13-\frac{1}{12}}{\frac 13}=\bbox[yellow]{\frac 34}\)
d) Utilizando nuevamente el Teorema de Bayes y la leyes de Morgan, se tiene
\(P(\bar{A}|\bar{B})=\frac{P(\bar{B}\cap \bar{A})}{P(\bar{B})}=\frac{P(\bar{A\cup B})}{1-P(B)}=\frac{1-P(A\cup B)}{1-P(B)}=\frac{1-\frac 12}{1-\frac 14}=\bbox[yellow]{\frac 23}\)