Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(15\) minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de \(400\) espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo diario dedicado a ver TV es de \(3\) horas
a) Determínese un intervalo de confianza para \(\mu\) con un nivel de confianza del \(95\)%
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de \(\mu\) sea menor o igual que \(3\) minutos, con un nivel de confianza del \(90\)%?
a) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(180-1,96\frac{15}{\sqrt{400}},180+1,96\frac{15}{\sqrt{400}})=\bbox[yellow]{(178,5, 181,5)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(90\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,90\Rightarrow\alpha=0,10\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1.645\), por lo tanto, \(n>(1,645\frac{15}{3})^2=67,65\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 68}\)
Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\mu\) y desviación típica igual a \(0,09\) euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del refresco en \(10\) establecimientos y resulta:
\(1,50\quad\quad 1,60\quad\quad 1,10\quad\quad 0,90\quad\quad 1,00\quad\quad 1,60\quad\quad 1,40\quad\quad 0,90\quad\quad 1,30\quad\quad 1,20\)
a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del \(95\)% para \(\mu\)
b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y \(\mu\) sea menor o igual que \(0,10\) euros con probabilidad mayor o igual que \(0,99\)
a) Considerando \(x\) la variable aleatoria que mide el precio de un refresco, se comportará como una variable continua con distribución Normal, \(x:N(\mu,\sigma)\), ver estadística
El intervalo de confianza se calculará utilizando la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,
\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
Con \(\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{1,50+1,60+1,10+0,90+1,00+1,60+1,40+0,90+1,30+1,20}{10}=1,25\)
El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal
Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)
Por lo tanto,
\(IC=(1,25-1,96\frac{0,09}{\sqrt{10}},1,25+1,96\frac{0,09}{\sqrt{10}})=\bbox[yellow]{(1,19, 1,31)}\)
b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido
\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística
En este caso, al ser \(99\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,99\Rightarrow\alpha=0,01\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\), por lo tanto, \(n>(2,58\frac{0,09}{0,1})^2=5,39\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 6}\)