\[\]Ejercicio 1: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int\frac{14x+21}{(x^2+3x+8)^3}dx\)

Para resolver la integral se busca una función y algo similar a su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución En este caso \(y=x^2+3x+8\), y \(dy=2x+3 dx\), por lo que la integral quedaría \(\displaystyle\int\frac{14x+21}{(x^2+3x+8)^3}dx=\displaystyle\int\frac{7}{y^3}dy=\displaystyle\int 7y^{-3}dy\) Mirando en la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado; \(\displaystyle\int 7y^{-3}dy=\frac{7y^{-2}}{(-2)}+C=-\frac{7}{2y^2}+C\) Deshaciendo el cambio \(y=x^2+3x+8\), queda \(\bbox[yellow]{-\displaystyle\frac{7}{2(x^2+3x+8)^2}+C}\)

Ejercicio 2: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \sin 3x\cos 3xdx\)

En este caso, cualquiera de las dos funciones que aparecen en la integral pueden actuar como derivada de la otra (aunque en uno de los dos casos con un signo menos), de forma que cualquiera de las dos puede sustituirse por \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución En particular, \(y=\sin 3x\), \(dy=3\cos 3x dx\), ver tabla de derivadas, por lo que la integral quedaría \(\displaystyle\int \sin 3x\cos 3xdx=\displaystyle\int\frac 13 y dy\) Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado; \(\displaystyle\int\frac 13 y dy=\frac 13\frac{y^{2}}{2}+C\) Deshaciendo el cambio \(y=\sin 3x\), queda \(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 16(\sin 3x)^2+C}\)

 

\[\] Ejercicio 3: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int (x+4)\sqrt{5-x}dx\)

Para hallar el resultado se busca una función y su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución En particular, en la integral se puede identificar \(y=5-x\), y \(dy=-dx\), además \(x+4=9-(5-x)=9-y\), por lo que la integral quedaría \(\displaystyle\int (x+4)\sqrt{5-x}dx=\displaystyle\int -(9-y)\sqrt{y}dy=\displaystyle\int (y-9)\sqrt{y}dy\) Reescribiendo la integral, se obtiene \(\displaystyle\int (y-9)\sqrt{y}dy=\displaystyle\int y^{\frac 32}-9y^{\frac 12}dy\) Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado; \(\displaystyle\int y^{\frac 32}-9y^{\frac 12}dy=\frac{y^{\frac 52}}{\frac 52}-\frac{9y^{\frac 32}}{\frac 32}+C=\frac 25y^{\frac 52}-\frac 23 9y^{\frac 32}+C\) Deshaciendo el cambio \(y=5-x\), queda \(\bbox[yellow]{\frac 25\sqrt{(5-x)^5}-6\sqrt{(5-x)^3}+C}\)

\[\]Ejercicio 4: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int\csc ^2 4x\cot 4xdx\)

Para resolver la integral se busca una función y su derivada en la expresión y se llama \(y\) a dicha función, ver cómo resolver integrales por sustitución En este ejercicio \(y=\cot 4x\), y, por tanto, \(dy=-4\csc ^2 4x dx\), ver la tabla de derivadas, \(\displaystyle\int\csc ^2 4x\cot 4xdx=\displaystyle\int -\frac 14 ydy\) Mirando la tabla de integrales, en concreto, cómo integrar potencias de funciones, se calcula la integral; \(\displaystyle\int -\frac 14 ydy=-\frac{1}{4}\frac{y^2}{2}+C\) Deshaciendo el cambio \(y=-\frac{1}{4}\frac{y^2}{2}+C\), queda \(\bbox[yellow]{-\frac{(\cot 4x)^2}{8}+C}\)

 

\[\]Ejercicio 5: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int\tan ^4 x\sec ^2 xdx\)

El procedimiento para resolver integrales por sustitución es buscar una función y su derivada en la expresión, llamando \(y\) a dicha función, ver cómo resolver integrales por sustitución En este caso como \((\tan x)’=\sec ^2 xdx\), llamando \(y=\tan x\), se tiene \(\displaystyle\int\tan ^4 x\sec ^2 xdx=\displaystyle\int(y)^{4}dy\) Mirando la tabla de integrales, en concreto, cómo integrar potencias de funciones, se calcula; \(\displaystyle\int y^{4}dy=\displaystyle\frac{y^5}{5}+C\) Deshaciendo el cambio \(y=\tan x\), queda \(\bbox[yellow]{-\displaystyle\frac{\tan ^5 x}{5}+C}\)

\[\] Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \sec ^33x\tan 3xdx\)

Para hallar el resultado se busca una función y su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución En particular, en este caso \(y=\sec 3x\), y, por lo tanto, \(dy=3\sec 3x\tan3x dx\), (ver la tabla de derivadas) por lo que la integral quedaría \(\displaystyle\int \sec ^33x\tan 3xdx=\displaystyle\int\frac 13 ydy\) Consultando en la tabla de integrales cómo integrar potencias, se halla el resultado; \(\displaystyle\int\frac 13 ydy=\frac 13\frac{y^2}{2}+C\) Deshaciendo el cambio \(y=\sec 3x\), queda \(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{(\sec 3x)^2}{6}+C}\)

 

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