Ejercicios de Geometría analítica I

Ejercicio 1: Expresar de todas las maneras posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(1,2)\) y \(B(2,5)\). Calcular el ángulo formado por la recta y el eje de abcisas

Primero se calcula el vector director de la recta, ver cómo calcular un vector con dos puntos dados,

\(\displaystyle\vec{AB}=(2,5)-(1,2)=(1,3)\) se tiene, ver ecuaciones de la recta:

Ecuación vectorial: \(\displaystyle\boxed{r:(x,y)=(1,2)+\lambda(1,3)}\)

Ecuación paramétrica: \(\displaystyle\boxed{\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&2+3\lambda\\\end{cases}}\)

Ecuación continua: \(\displaystyle\boxed{\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}}\)

Ecuación general: \(\displaystyle 3x-y-3+2=0=\boxed{3x-y-1=0}\)

Ecuación explícita: \(\displaystyle\boxed{y=3x-1}\)

Ecuación punto pendiente: \(\displaystyle\boxed{y=3(x-\dfrac 13)}\), luego en este caso \(m=3\)

El ángulo viene definido como \(\alpha\) en la siguiente expresión, ver ángulos,

\(\displaystyle m=\tan\alpha=3\Rightarrow\boxed{\alpha=71.56}\)

Ejercicio 2: Calcular la distancia del punto \(P(1,2)\) a la recta \(y=3x-2\)

Escribiendo primero la recta en la expresión de la ecuación general de la recta, ver ecuaciones de la recta, queda

\(y=3x-2\Rightarrow 3x-y-2=0\)

Utilizando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta, ver distancias, se obtiene el resultado final

\(d(P,r)=\dfrac{|1.3+2.(-1)-2|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{10}}=\boxed{\dfrac{\sqrt{10}}{10}}\)

 

Ejercicio 3: Calcular el ángulo formado por las rectas \(r_1:\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&-1-3\lambda\\\end{cases}\) y \(r_2:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}\)

Primeramente se escriben ambas rectas en su expresión de ecuación general, ver ecuaciones de la recta,

\(\displaystyle r_1:\begin{cases}x=&1+\lambda\\y=&-1-3\lambda\\\end{cases}\Rightarrow\lambda=x-1=-\dfrac{y+1}{3}\Rightarrow 3x-3=-y-1\Rightarrow 3x+y-2=0\)

En el caso de \(r_2\) se tiene \(r_2:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}\Rightarrow 3x-3=2y+2\Rightarrow 3x-2y-5=0\)

Utilizando la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas, ver ángulo entre dos rectas, se obtiene

\(\displaystyle\cos\alpha=\dfrac{|3.3+1(-2)|}{\sqrt{3^2+1^2}\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{10}\sqrt{13}}=0.613\Rightarrow\boxed{\alpha=52.19}\)

Ejercicio 4: Calcular la distancia del punto \(P(1,-2)\) a la recta \(\displaystyle s:\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{1}\)

Escribiendo primero la recta en la expresión de la ecuación general de la recta, ver ecuaciones de la recta, queda

\(\displaystyle s:\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{1}\Rightarrow x+2y-1=0\)

Utilizando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta, ver distancias, se obtiene el resultado final

\(d(P,r)=\dfrac{|1.1+2.(-2)-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{|-4|}{\sqrt{5}}=\boxed{\dfrac{4\sqrt{5}}{5}}\)

 

Ejercicio 5: Dado el triángulo de vértices \(A(1,2)\), \(A(2,-1)\) y \(A(-2,5)\) hallar la ecuación de sus tres mediatrices y comprobar que se cortan en un único punto

Sabiendo que la mediatriz entre dos puntos es el conjunto de puntos \((x,y)\) tales que equidistan de los dos puntos, es decir, entre los puntos \(A\) y \(B\) la mediatriz será el conjunto de puntos \(P(x,y)\) tales que \(d(P,A)=d(P,B)\), ver cómo calcular la mediatriz de un triángulo y la distancia entre dos puntos,

\(\displaystyle d(P,A)=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=d(P,B)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-4x+4+y^2+1+2y\Rightarrow 2x-6y=0\Rightarrow\boxed{x-3y=0}\)

Se calcula ahora la mediatriz entre los puntos \(B\) y \(C\),

\(\displaystyle d(P,B)=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x+2)^2+(y-5)^2}=d(P,C)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2-4x+4+y^2+1+2y=x^2+4x+4+y^2+25-10y\Rightarrow -8x+12y-24=0\Rightarrow\boxed{3y-2x-6=0}\)

Se calcula ahora la mediatriz entre los puntos \(C\) y \(A\),

\(\displaystyle d(P,C)=\sqrt{(x+2)^2+(y-5)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=d(P,A)\)

Quitando las raíces y desarrollando los cuadrados queda,

\(\displaystyle x^2+4x+4+y^2-10y+25=x^2-2x+1+y^2+-4y+4\Rightarrow 6x-6y+24=0\Rightarrow\boxed{x-y+4=0}\)

Para hallar el centro de las mediatrices encontradas se ha de resolver el sistema que formas dichas rectas, es decir, resolver

\(\displaystyle\begin{cases}x-3y=&0\\3y-2x-6=&0 \\x-y+4=&0 \\\end{cases}\)

Despejando la \(x\) de la primera ecuación, \(x=3y\), y sustituyendo dicho valor en cualquiera de las otras dos ecuaciones se obtiene \(y=-2\), de forma que \(x=-6\)

Luego el centro de las mediatrices será \(\displaystyle\boxed{(-6,-2)}\)

Ejercicio 6: Calcular la distancia del punto \(P(1,-2)\) a la recta \(\displaystyle \begin{cases}x=&1+2t\\y=&2-t\\\end{cases}\)

Escribiendo primero la recta en la expresión de la ecuación general de la recta, ver ecuaciones de la recta, queda

\(\displaystyle \begin{cases}x=&1+2t\\y=&2-t\\\end{cases}\Rightarrow t=\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}\Rightarrow -x+1=2y-4\Rightarrow x+2y-5=0\)

Utilizando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta, ver distancias, se obtiene el resultado final

\(d(P,r)=\dfrac{|0.1+2.2-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\boxed{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)

 

 

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