\[\]Ejercicio 1: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int 4(x-5)^{\frac 32}dx\)
Para resolver la integral se busca una función y algo similar a su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En este caso \(y=x-5\), y \(dy=dx\), por lo que la integral quedaría
\(\displaystyle\int 4(x-5)^{\frac 32}dx=\displaystyle\int 4y^{\frac 32}dy\)
Mirando en la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se tiene
\(\displaystyle\int 4y^{\frac 32}dy=4\displaystyle\frac{y^{\frac 52}}{\frac 52}+C=\displaystyle\frac 85\sqrt{y^5}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=x-5\), queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 85\sqrt{(x-5)^5}+C}\)
Ejercicio 2: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \frac{4x+2}{\sqrt{x-1}}dx\)
Para hallar el resultado se busca una función y su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En particular, en la integral se puede identificar \(y=x-1\), y \(dy=dx\)
Teniendo también en cuenta también que \(4x+2=4(x-1)+6=4y+6\), la integral quedaría
\(\displaystyle\int \frac{4x+2}{\sqrt{x-1}}dx=\displaystyle\int \frac{4y+6}{y^{\frac 12}}dy\)
Dividiendo la integral en dos, ver cómo operar con integrales, se tiene
\(\displaystyle\int \frac{4y+6}{y^{\frac 12}}dy=\displaystyle\int \frac{4y}{y^{\frac 12}}dy+\int\frac{6}{y^{\frac 12}}dy\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int \frac{4y}{y^{\frac 12}}dy+\int\frac{6}{y^{\frac 12}}dy=\displaystyle\frac{4y^{\frac 32}}{\frac 32}+C+\frac{6y^{\frac 12}}{\frac 12}+C=\displaystyle\frac 83\sqrt{y^3}+12\sqrt{y}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=x-1\), queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac 83\sqrt{(x-1)^3}+12\sqrt{x-1}+C}\)
\[\] Ejercicio 3: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int x\cos x^2dx\)
Para resolver la integral se busca una función y su derivada en la expresión y se llama \(y\) a dicha función, ver cómo resolver integrales por sustitución
En este ejercicio \(y=x^2\), y, por tanto, \(dy=2x dx\), por lo que quedaría
\(\displaystyle\int x\cos x^2dx=\displaystyle\int \frac 12\cos ydy\)
Mirando la tabla de integrales, en concreto, cómo integrar funciones trigonométricas, se calcula;
\(\displaystyle\int \frac 12\cos ydy=\frac{1}{2}\sin y+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=x^2\), queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{1}{2}\sin x^2+C}\)
\[\]Ejercicio 4: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int 2\pi\sqrt{x}(8-x^{\frac 32})dx\)
El procedimiento para resolver integrales por sustitución es buscar una función y su derivada en la expresión de dicha integral y llamarla \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En este caso, \(y=8-x^{\frac 32}\), \(dy=-\frac 32\sqrt{x}dx\), ver tabla de derivadas, por lo que la integral quedaría
\(\displaystyle\int 2\pi\sqrt{x}(8-x^{\frac 32})dx=\displaystyle\int 2\pi(-\frac 23)y dy\)
Consultando la tabla de integrales cómo integrar potencias de funciones, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int 2\pi(-\frac 23)y dy=-\frac{4\pi}{3}\frac{y^2}{2}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=8-x^{\frac 32}\) y simplificando, queda
\(\bbox[yellow]{-\displaystyle\frac{2\pi}{3}(8-x^{\frac 32})^2+C}\)
\[\]Ejercicio 5: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int\sin 2xdx\)
Para resolver la integral se busca una función y su derivada en la expresión y se llama \(y\) a dicha función, ver cómo resolver integrales por sustitución
En este caso \(y=2x\) y, por tanto, \(dy=2dx\), obteniéndose,
\(\displaystyle\int\sin 2xdx=\displaystyle\int\frac 12\sin ydy\)
Mirando la tabla de integrales, en concreto, cómo integrar la función \(seno(x)\), se calcula;
\(\displaystyle\int\frac 12\sin ydy=-\frac 12\cos y+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=2x\), queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle-\frac{\cos 2x}{2}+C}\)
\[\] Ejercicio 6: Hallar el valor de la siguiente integral resolviéndola por sustitución \(\displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos ^x}dx\)
Para hallar el resultado se busca una función y su derivada en la expresión y se identifica dicha función como \(y\), ver cómo resolver integrales por sustitución
En particular, en este caso ambas funciones podrían ser \(y\) ya que una es la derivada de la otra (y viceversa), pero en la expresión una de estas funciones está elevada al cuadrado y ésta es la que se tomará como \(y\), es decir, \(y=\cos x\), y, por lo tanto, \(dy=-\sin x dx\), ver la tabla de derivadas, de forma que quedaría
\(\displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\displaystyle\int -\frac{dy}{y^2}=\displaystyle\int -y^{-2}dy\)
Consultando en la tabla de integrales cómo integrar potencias, se halla el resultado;
\(\displaystyle\int -y^{-2}dy=-\frac{y^{-1}}{(-1)}+C=\frac{1}{y}+C\)
Deshaciendo el cambio \(y=\cos x\), queda
\(\bbox[yellow]{\displaystyle\frac{1}{\cos x}+C}\)
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