Ejercicios de Límites IV

Ejercicio 1: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del numerador (\(\sqrt{x^2-5}+2)\) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{\sqrt{x^2-5}-2}{x-3}=\lim\limits_{x \to 3}\frac{x^2-5-4}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}=\lim\limits_{x \to 3}\frac{x^2-9}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}\)

Factorizando el polinomio del numerador, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x^2-9}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}=\lim\limits_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(\sqrt{x^2-5}+2)}=\lim\limits_{x \to 3}\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5}+2}\)

De lo que queda sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 3}\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5}+2}=\boxed{\frac{3}{2}}\)

Ejercicio 2: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x^2+x-2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x^2+x-2}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador se dividen los polinomios (en este caso el resto es cero, ver resolución de límites), y se tiene sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1}\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x^2+x-2}=\lim\limits_{x \to 1}x-3=\boxed{-2}\)

 

Ejercicio 3: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{13-x^2}-3}{x-2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{13-x^2}-3}{x-2}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del numerador (\(\sqrt{13-x^2}+3)\) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{\sqrt{13-x^2}-3}{x-2}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{13-x^2-9}{(x-2)(\sqrt{13-x^2}+3)}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{4-x^2}{(x-2)(\sqrt{13-x^2}+3)}\)

Factorizando el polinomio del numerador, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{(2-x)(2+x)}{(x-2)(\sqrt{13-x^2}+3)}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{-(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{13-x^2}+3)}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 2}\frac{-(x+2)}{(x-2)(\sqrt{13-x^2}+3)}=\frac{-4}{6}=\boxed{\frac{-2}{3}}\)

Ejercicio 4: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{2-\sqrt{x^2}}{x+2}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{2-\sqrt{x^2}}{x+2}=\frac{0}{0}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del numerador (\(2+\sqrt{x^2})\) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{2-\sqrt{x^2}}{x+2}=\lim\limits_{x \to -2}\frac{4-x^2}{(x+2)(2+\sqrt{x^2})}\)

Factorizando el polinomio del numerador, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{(2-x)(2+x)}{(x+2)(2+\sqrt{x^2})}=\lim\limits_{x \to -2}\frac{2-x}{(2+\sqrt{x^2})}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to -2}\frac{2-x}{(2+\sqrt{x^2})}=\boxed{\frac{-2}{3}}\)

Ejercicio 5: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^4+17x}}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^4+17x}}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se divide en el numerador y en el denominador entre la potencia máxima de la \(x\) (en este caso entre \(x^2\)) (ver resolución de límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4}{x^4}+\frac{17x}{x^4}}}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{17}{x^3}}}=\boxed{1}\)

 

Ejercicio 6: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^4+17x}}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^4+17x}}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se divide en el numerador y en el denominador entre la potencia máxima de la \(x\) (en este caso entre \(x^2\)) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4}{x^4}+\frac{17x}{x^4}}}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{17}{x^3}}}=\boxed{1}\)

 

Ejercicio 7: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^4-3x^3+x}{x^6-2x+6}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^4-3x^3+x}{x^6-2x+6}=\frac{\infty}{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones). Se divide en el numerador y en el denominador entre la potencia máxima de la \(x\) (en este caso entre \(x^6\)) (ver cómo resolver límites), y se tiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{x^4}{x^6}-\frac{3x^3}{x^6}+\frac{x}{x^6}}{\frac{x^6}{x^6}-\frac{2x}{x^6}+\frac{6}{x^6}}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x^5}}{1-\frac{2}{x^5}+\frac{6}{x^6}}=\boxed{0}\)

Ejercicio 8: Resolver el siguiente límite \(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{x^3+3x-2}{4x^3-5})^{7x}\)

Sustituyendo primero el valor en el límite, se obtiene

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}(\frac{x^3+3x-2}{4x^3-5})^{7x}=(\frac{\infty}{\infty})^{\infty}\)

que es una indeterminación (ver indeterminaciones).

Sabiendo que \(\displaystyle\lim\limits_{x \to a}(f(x))^{g(x)}=\displaystyle\lim\limits_{x \to a}(f(x))^{\lim\limits_{x \to a} g(x)}\), ver propiedades de los límites, se
evalúan

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^3+3x-2}{4x^3-5}\)

y

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}7x\)

por separado.

El primero de los límites da como resultado una indeterminación (ver indeterminaciones):

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^3+3x-2}{4x^3-5}=\frac{\infty}{\infty}\)

Para resolverlo se divide entre la potencia máxima de la \(x\), en este caso, \(x^3\), ver cómo resolver límites, obteniendo:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^3+3x-2}{4x^3-5}=\lim\limits_{x \to\infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{3x}{x^3}-\frac{2}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}-\frac{5}{x^3}}\)

Simplificando y sustituyendo el valor en el límite, se obtiene,

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{1+\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x^3}}{4-\frac{5}{x^3}}=\frac{1}{4}\)

El otro límite es directo: \(\lim\limits_{x \to\infty}7x=\infty\)

De forma que, teniendo en cuenta que \(\frac{1}{4}\) es un número menor que \(1\), se obtiene el resultado final:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to\infty}\frac{x^4-3x^3+x}{x^6-2x+6}=(\frac{1}{4})^{\infty}=\boxed{0}\)

 

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